PYTHON 用幾何布朗運(yùn)動模型和蒙特卡羅MONTE CARLO隨機(jī)過程模擬股票價格可視化分析耐克
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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于模擬股票價格的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。
金融資產(chǎn)/證券已使用多種技術(shù)進(jìn)行建模。該項目的主要目標(biāo)是使用幾何布朗運(yùn)動模型和蒙特卡羅模擬來模擬股票價格。該模型基于受乘性噪聲影響的隨機(jī)（與確定性相反）變量
該項目分兩部分完成：
第一部分涉及為幾何布朗運(yùn)動編寫代碼，并檢查和驗證它是否工作。這是使用 Python 中的幾個函數(shù)完成的，并使用迭代設(shè)置將后續(xù)股票價格建模為馬爾可夫鏈，給定初始起始價格 S0。驗證過程包括運(yùn)行多個模擬或隨機(jī)游走樣本，然后檢查結(jié)果分布，以查看股票價格、收益和波動性是否滿足某些屬性和假設(shè)。
第二階段涉及探索，將模型實際應(yīng)用于實際股票價格，并使用耐克股票的真實股票數(shù)據(jù)進(jìn)行回測。模擬是通過獲取收益率 μ 和波動率 σ 的樣本值并觀察股票價格演變的模擬數(shù)據(jù)和真實數(shù)據(jù)之間的相關(guān)程度來完成的。
模擬需要大約 10-15 分鐘才能完全運(yùn)行。請注意，對模擬結(jié)果的所有解釋都是通過解釋價格水平和收益率的結(jié)果分布的均值和方差等參數(shù)來完成的。
假設(shè)
此項目中使用了以下變量和符號列表：
S0 - 初始股票價格
St - 時間的股票價格，t
μ - 在特定時間段內(nèi)平均的股票收益（漂移）率
σ - 在特定時間段內(nèi)平均的股票波動率（標(biāo)準(zhǔn)差）
dt - 模擬的時間步長，對應(yīng)于一天內(nèi)股票價格采樣的頻率
N - 模擬的總天數(shù)。
r - 無風(fēng)險利率，任何人都可以借/貸
還對股票市場/價格做出了以下假設(shè)。雖然這些假設(shè)確實有助于大大簡化模型，但它們非常現(xiàn)實，有助于在理想情況下制定模型。
股票價格遵循馬爾科夫過程，即是無記憶的，隨后的股票價格僅取決于當(dāng)前價值，而不取決于任何先前的價值。
與 N 相比，考慮的時間步長 dt 較短，即 Ndt>>1
市場完整高效，不存在套利機(jī)會。
沒有股息、交易成本或稅收考慮。
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拓端
，贊8
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拓端
，贊16
維納過程和幾何布朗運(yùn)動
維納過程（也稱為布朗運(yùn)動）是一個具有連續(xù)變量和連續(xù)時間的馬爾可夫過程。對于隨機(jī)變量 z，它有兩個重要的性質(zhì)：
所有的 Δz 都是統(tǒng)計獨(dú)立的。
dz = εdt
其中 ? 來自正態(tài)分布
通過將漂移項 a(x,t)dt 添加到隨機(jī)過程 dz 上，可以將維納過程進(jìn)一步推廣到 Ito 過程。?
對于股票價格，上述方程是 Ito 過程，也稱為幾何布朗運(yùn)動，描述了隨時間的隨機(jī)變化。請注意，μ 和 σ 分別是瞬時漂移和標(biāo)準(zhǔn)偏差率。S 遵循一個受乘性噪聲影響的隨機(jī)過程。這里還需要注意的是，幾何布朗運(yùn)動模型避免了負(fù)股票價格的問題。
為股票價格的解決方案建模
上述隨機(jī)微分方程 (SDE) 具有以下形式的解析解：
請注意，在上述等式中，常數(shù) μ 和 σ 分別對應(yīng)于股票價格的百分比漂移（收益）和百分比波動（標(biāo)準(zhǔn)差）率。Wt 指的是由 dz=?dt 給出的維納過程，如上所述。該解方程用于以下列方式迭代計算每個時間步的 St：
這里，t 是計算的時間步長，每個 St 僅取決于之前的起始價格 St?1，這是布朗運(yùn)動模型所要求的，因為它是一個馬爾可夫過程。請注意，通過選擇一個小的時間步長，我們可以接近連續(xù)時間的極限。
因此，給定某個時間步長，隨后的每個股票價格 St 完全由三個參數(shù)描述：
初始“開始”價格，St?1
百分比收益（漂移）率，μ
波動率或標(biāo)準(zhǔn)偏差率，σ
下面的代碼實現(xiàn)了上面描述的迭代過程。時間步長由 dt 給出，對應(yīng)于對股票價格進(jìn)行采樣的頻率，N 是模擬運(yùn)行的總天數(shù)。
#幾何布朗運(yùn)動模型#使用mu=收益率#sigma=波動率#dt=時間步長#Si=每個時間段的初始（開始）價格值#價格和收益的時間演變#使用布朗運(yùn)動模型來生成N天（時間段）的價格列表def?gices(mu,?sigma,?dt,?Si,?N):????pirr?=?np.zeros(N)?#初始化一個長度為N的向量來存儲價格值????pr_r[0]?=?Si?#存儲第一個價格值??????retrr?=?np.zeros(N)?#初始化向量來存儲返回值????????#還可以計算連續(xù)N之間的價格回報率????for?i?in?range?(1,N):????????#注意price[i-1]是每次迭代的Si????????pr_arr[i]?=?geoeti_bown(mu,?sigma,?dt,?price_arr[i-1])
運(yùn)行單個模擬/步行
這部分代碼只是調(diào)用上面編寫的函數(shù)并繪制結(jié)果。給出了收益率和波動率、起始價格和時間步長的樣本值。以下數(shù)字按出現(xiàn)順序顯示：
股票價格的演變，St 作為 N 的函數(shù)
股票價格水平的分布，繪制為直方圖。
收益和對數(shù)收益的分布，也繪制為直方圖。
在隨后的部分中進(jìn)行了多次模擬，以實際驗證模型的正確性。
#運(yùn)行單個模擬以檢查功能#使用?mu、sigma?和?Si?的樣本值進(jìn)行測試#調(diào)用函數(shù)Slst,?RitRlolist?=?gpes(mu,?sigma,?dt,?Si,?N)#繪制結(jié)果plt.figure(figsize=(15,5))
#用于獲取mu_multiple和sigma_multiple#將價格數(shù)組作為輸入并返回?mu?和?sigmadef?v_tun(price_array):????mu_single?=?0????sgm_sigle?=?0????
????#計算模擬的平均收益率，mu和平均波動率，sigma????musigle?=?np.mean(mu_temp)????sigmsile?=?np.std(mu_temp)
????#Monte?Carlo?模擬幾何布朗運(yùn)動演化#運(yùn)行幾個模擬來生成幾個可能的價格演變數(shù)組#用它來計算平均波動率和回報率def?gmlie(mu,?sigma,?dt,?Si,?N,?sim_count):????cacies?=?np.zeros(shape=(N,sim_count))?#創(chuàng)建一個數(shù)組來存儲模擬值????#對于?alc_res?數(shù)組，我們只關(guān)心值????#創(chuàng)建數(shù)組來存儲每個的mu和sigma的值????m_mutple?=?np.zeros(sim_count)????sigmmiple?=?np.zeros(sim_count)
????
????vl?=?np.linspace(0,N-1,N)
????#運(yùn)行模擬并繪制每個價格演變的結(jié)果????plt.figure(figsize=(20,20))
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R語言幾何布朗運(yùn)動GBM模擬股票價格優(yōu)化建立期權(quán)定價用概率加權(quán)收益曲線可視化
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檢查和測試多個模擬的代碼
上面的代碼包含一個函數(shù)，可以為幾何布朗運(yùn)動描述的隨機(jī)游走運(yùn)行多個模擬。還編寫了另一個計算給定輸入數(shù)組的平均收益和波動率水平的函數(shù)。這兩個函數(shù)都用于生成幾個模擬/隨機(jī)游走，如上圖所示。
上圖顯示了在相同起始價格、S0=100 和收益率和波動率、μ=0.2 和 σ=0.07 下運(yùn)行的 500 次模擬圖。使用的時間步長為 dt=0.01，表示每天對股票價格進(jìn)行頻繁抽樣。每條線代表使用前面描述的幾何布朗運(yùn)動模型建模的樣本隨機(jī)游走。然后通過繪制股票價格、收益和標(biāo)準(zhǔn)差的分布來分析使用這些模擬生成的數(shù)據(jù)。然后分析這些價格水平、收益和波動率的分布，以檢查其正確性和一致性。
從下面的第一張圖中可以看出，價格水平遵循近似對數(shù)正態(tài)分布。這實際上是一個預(yù)期的結(jié)果。解，St 是一個對數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其期望值和方差由下式給出：
從下面的第一幅圖中可以看出，對于 sim_count = 500 次模擬，價格水平確實近似于對數(shù)正態(tài)分布，平均值約為 200。使用 tats.lmfit 函數(shù)測量的均值和方差也與以上定義的值在合理的誤差范圍內(nèi)。對于使用上面給出的參數(shù)的模擬運(yùn)行，它們被計算為：
下面的第二張圖顯示了上面運(yùn)行的模擬的收益率分布?？梢院苋菀椎赜^察到，收益呈正態(tài)分布，平均值約為 0.15，這是模擬中 μ 的輸入值。這種收益率的正態(tài)分布也是布朗運(yùn)動模型的預(yù)期結(jié)果。下面的第三張圖顯示了標(biāo)準(zhǔn)偏差率的分布，也可以觀察到其呈正態(tài)分布，平均值約為 0.07，這是模擬的 σ 輸入值。
因此，上述討論驗證了幾何布朗運(yùn)動編碼模型確實按預(yù)期工作，并生成與模型的屬性和假設(shè)相對應(yīng)的結(jié)果。自相似性也被證明適用于模型，其中不同的時間步長 dt 與調(diào)整后的 μ 和 σ 一起使用，以產(chǎn)生相似的價格水平和收益分布。這是模型的另一個預(yù)期結(jié)果，因為布朗運(yùn)動在不同尺度上表現(xiàn)出分形行為。
#繪制價格水平和收益的分布以檢查代碼的有效性#價格水平應(yīng)根據(jù)幾何布朗運(yùn)動模型呈對數(shù)正態(tài)分布#Retu?ate?和?Vlatiiy?應(yīng)該是正態(tài)分布的#Plot?價格水平plt.figure(figsize=(15,5))#與下面給出的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的對數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行比較logorman?=?Si*np.exp(mu*N*dt)logmvar?=?(Si**2)*np.exp(2*mu*N*dt)*(np.exp((sigma**2)*N*dt)-1)plt.plot(bns,lonm_dst,"g",lw=5)?#繪制預(yù)期的對數(shù)正態(tài)密度分布#繪制收益和波動率分布plt.figure(figsize=(15,5))
print(lono_ean)print(np.sqrt(loomvr))
探索：使用真實股票數(shù)據(jù)測試模型
一旦模型被檢查為正常工作，它就會用真實的庫存數(shù)據(jù)進(jìn)行測試。耐克 (NKE) 2013-2015 年的股價被用來回測該模型。并且使用上述幾何布朗運(yùn)動模型運(yùn)行 Monte Carlo 模擬。
以下值用于在兩年期間使用 NKE 的真實數(shù)據(jù)測試代碼。假設(shè)一年大約有 250 個工作日，N = 500 表示大約兩年的時間框架。通過將數(shù)據(jù)導(dǎo)入單獨(dú)的 .csv 文件并對股票價格的收益率和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行所需的計算來計算收益率和波動率。
截至 2013 年 1 月 2 日，起始價格 S0 為 52.4。兩年期末的預(yù)期價格 St 預(yù)計在 98.6 左右。
兩年年化收益率為 μ=0.13，這是使用雅虎財經(jīng)歷史記錄生成的價格列表計算得出的。
兩年年化波動率也從價格中獲得，σ=0.05。
以下代碼調(diào)用函數(shù)以通過幾何布朗運(yùn)動模型生成隨機(jī)游走。
#使用這些價格計算回報率和波動率。pprint(k.geical('2013-01-01',?'2015-01-01'))
#使用輸入?yún)?shù)的樣本值運(yùn)行多個模擬dt?=?0.01sim_count?=?500#調(diào)用函數(shù)并運(yùn)行模擬prie,?mu_arr,?sigrr?=?geiple(mu,?sgma,?dt,?Si,?N,?icont)
在?[29]?中：lorm_ean?=?Si*np.exp(mu*N*dt)
解釋模擬結(jié)果
從上圖中生成的隨機(jī)游走可以看出，我們在這里使用的模型乍一看似乎產(chǎn)生了正確方向和近似幅度的價格演變。由于它是一個隨機(jī)游走模型，重要的是要注意，結(jié)果只能解釋為價格水平或整體收益分布，而不是單個模擬。下面的代碼和數(shù)字為價格水平和收益率和波動率生成所需的分布圖。
首先需要注意的是，使用等式 E[St]=S0e(μN(yùn)t) 的對數(shù)正態(tài)分布價格水平的計算平均值為 100.374。這位于真實值 98.6 的 5% 誤差范圍內(nèi)，是使用 500 次模擬生成的。
其次，可以看出幾何布朗運(yùn)動的所有性質(zhì)都得到滿足——價格水平服從對數(shù)正態(tài)分布，收益率和波動率正態(tài)分布，均值對應(yīng)于輸入?yún)?shù)值。
請注意，模擬還針對其他時間范圍和不同的股票價格運(yùn)行，平均而言，該模型顯示的值在圣路易斯真實價值的 10% 以內(nèi)。
#繪制價格水平的分布并返回以檢查真實數(shù)據(jù)的代碼#價格水平應(yīng)根據(jù)幾何布朗運(yùn)動模型呈對數(shù)正態(tài)分布#Return?Rate?和?Volatility?應(yīng)該是正態(tài)分布的#Plot?價格水平plt.hist(prestiple,bins=100,normed=1,label="R")#與下面給出的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的對數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行比較lognorm_mean?=?Si*np.exp(mu*N*dt)lognorm_var?=?(Si**2)*np.exp(2*mu*N*dt)*(np.exp((sigma**2)*N*dt)-1)#繪制預(yù)期的對數(shù)正態(tài)密度分布#繪制收益和波動率分布plt.hist(mu_arr,bins=100,normed=1,label="R")
評論和結(jié)論
從生成的模擬結(jié)果可以看出，幾何布朗運(yùn)動模型可以很好地使用上面討論的隨機(jī)過程來模擬股票價格。該模型首先被檢查以滿足幾何布朗運(yùn)動的特性，然后用真實的股票價格數(shù)據(jù)進(jìn)行回測。NKE 2013-2015 年的股票價格用于計算 μ 和 σ 的值，然后用于運(yùn)行該期間的模擬。股票價格的模擬結(jié)果和真實價值在 5% 的誤差范圍內(nèi)相似。
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本文選自《PYTHON 用幾何布朗運(yùn)動模型和蒙特卡羅MONTE CARLO隨機(jī)過程模擬股票價格可視化分析耐克NKE股價時間序列數(shù)據(jù)》。
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