一、選擇題（每小題5分共40分）

1.已知集合M={-2,-1,0,1,2}，N={x|x2-x-6≥0}，則M∩N=

A {-2,-1,0}??? B.{0,1,2}??? C{-2}? ??D{2}

解析：x2-x-6≥0得(x-3)(x+2)≥0,x≥3或x≤-2

選擇C

2.已知，則=

A -i??? B i? ??C 0?? D 1

解析：與共軛的差應該是虛數(shù)，排除CD

z=(1-i) (2-2i)/8=-2i/4

選擇A

3.已知向量a=(1,1)，b=(1,-1)，若(a+λb)⊥(a+μb)，則

A λ+μ=1??? B λ+μ=-1? ??C λμ=1? ? D λμ=-1

解析: (a+λb) (a+μb)=0，a2+(λ+μ) ab+λμb2=0

2+2λμ=0

選擇D

4.設函數(shù)在區(qū)間(0,1)單調遞減，則a的取值范圍是

A (-∞,-2]? ? B [-2,0)? ??C (0,2]? ??D [2,∞)

解析：2的指數(shù)次冪是單調增的，如果f單調減，那么x(x-a)在(0,1)上單調減

選擇D

5.設橢圓C1：x2/a2+y2=1 (a>1)，C2：0.25x2+y2=1的離心率分別為e1,e2，若e2=(√3)e1，則a=

A 2√3/3??? B √2? ??C √3? ??D √6

解析：e12=(a2-1)/a2，e22=3/4，3/4=3(a2-1)/a2

選擇A

6.過點(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線夾角為α，則sin α=

A 1? ? B 0.25√15??? C 0.25√10? ??D 0.25√6

解析：化簡可知圓心坐標是(2,0)，半徑是√5，算出點(0,-2)與圓心距離是2√2從而計算出夾角

選擇B

7. 記Sn為{an}前n項和，設甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{Sn/n}為等差數(shù)列，則

A 甲是乙的充分條件但不是必要條件

B 甲是乙的必要條件但不是充分條件

C 甲是乙的充要條件

D 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

解析：若甲成立，那么Sn/n=n[a1+a1+(n-1)d]/2/n =a1+(n-1)d/2，它是等差數(shù)列

若乙成立，那么Sn/n=a+nd，Sn=na+n2d，an=a+d(2n-1)，甲成立

選擇C

8.已知sin(α-β)=1/3，cosαsinβ=1/6，則cos(2α+2β)=

A 7/9??? B 1/9??? C -1/9?? ?D -7/9

解析：sinαcosβ-cosαsinβ=1/3

sinαcosβ+cosαsinβ=2/3

sin(α+β)=2/3

cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1/9

選擇B

二、多選題（每小題5分，共20分，全都選對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分）

9有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2，…x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則

A x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2，…x6的平均數(shù)

B x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2，…x6的中位數(shù)

C x2,x3,x4,x5的標準差不小于x1,x2，…x6的標準差

D x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2，…x6的極差

解析： x6是最大值，不一定能和平均數(shù)相等A錯，中位數(shù)是中間兩個數(shù)的平均數(shù)B正確，排除兩個數(shù)，標準差可能小，C錯，少個兩個極端的數(shù)，因此極差小，D正確

選擇BD

10.噪聲污染問題越來越受到重視，用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp=20×lg(p/p0)，其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓，下表為不同聲源的聲壓級：

聲源?|與聲源的距離/m|聲壓級/dB

燃油汽車? ? |?10 |60~90

混合動力汽車| 10 |50~60

電動汽車? ? | 10 |40

已知在距離燃油汽車，混合動力汽車, 電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1,p2,p3，則

A p1≥p2? B p2>10p3? C p3=100p0? D p1≤100p2

解析：聲壓級(/dB)=20×lg(p1,2,3/p0)，對數(shù)函數(shù)是單調增的 ，因此ACD正確

?選擇ACD

11.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，則

解析：令x=0可知A正確，令x=y=1知B正確

f(-1×x)=f(x)+x2f(-1)

f(-x)=f(x)+x2f(-1)

f[-1×(-1)]=2f(-1)=f(1)=0，C正確

選擇ABC

12.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器（容器厚度忽略不計）內(nèi)的有

A直徑為0.99m的球體

B所有棱長均為1.4m的四面體

C 底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體

D 底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體

解析：A正確，B每個正三角形的高是0.7√3，斜著放大角度傾斜小于30°可以放入，C選項1.8m超過體對角線，放不進去，D可以放入

選擇ABD

三、填空題（每小題5分，共20分）

13.某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需要叢這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案有____種（用數(shù)字作答）

解析：選擇兩門的情況有4×4=16種，選擇3門的情況是6×4×2=48種

填64

14.在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=√2，則該棱臺的體積為____

解析：先求棱臺的高，0.5√[(2√2)2-2]= √6/2，然后用棱臺體積公式計算

V=h[S1+S2+√(S1S2)]/3=(√6/2) (5+√4)/3

填7√6/6

15已知函數(shù)f(x)=cosωx -1 (ω>0)在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是____

解析：將橫坐標壓縮ω再向下平移一個單位得到f(x)，若有3個零點，那么，2π大于等于兩個周期且小于3個周期，即4π/ω≤2π，6π/ω>2π

填[2,3)

16.已知雙曲線C:x2/a2-y2/b2=1 (a>0,b>0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在C上，點B在y軸上，F1A⊥F1B，F2A=-2 F2B /3，則C的離心率為____

解析：設|F2B|=r根據(jù)題意及雙曲線的定義可得

|AF1|=4r/3,|AF2|=2r/3,2a=2r/3，r=3a

設A的坐標為(-c+4acosX,-4asinX) ，這里X為F1A與x軸的夾角

sinX=c/(3a)

4asinX=2|OB|/3

4ac/(3a)=2√(9a2-c2)/3

4c=2√(9a2-c2)

16c2=36a2-4c2

c2/a2=9/5

e=c/a=3√5/5

填 3√5/5

?

四、解答題（70分）

17.（10分）△ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sinB

(1)求sinA

(2)設 AB=5，求AB邊上的高

解析：(1)A+B+C=π

4C=π，C=π/4

A+B=3π/4

A-C=π/2-B

2sin(π/2-B)=sinB

2cosB=sinB

tanB=2

A=3π/4-arctan 2

sinA=sin (3π/4-arctan 2)=1/√2*1/√5+1/√2*2/√5=(1+2)/√10=3√10/10

(2)如圖作BC邊上的高AH=2√5

三角形的面積

S=[5cos(arctan 2)+5sin(arctan 2)]√5=15

AB邊上的高為2S/AB=6

18. （12分）如圖，正四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，AB=2，AA1=4，點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3

(1)證明 B2C2∥A2D2

(2)點P在棱BB1上，當二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P

解析：

(1)根據(jù)數(shù)量關系可得∠A2D2D=∠B2C2C，過點A2，B2作DD1和CC1的垂線交DD1和CC1于點E,F可得△D2A2E∽△C2B2F，又DD1∥CC1得A2E平行B2F，所以B2C2∥A2D2

(2)建立坐標系，如下圖坐標原點O為四邊形A2B2C2D2的中心

設B2P=h,過P作PQ⊥A2C2于Q，設Q的坐標是(a,b,c)，那么點P的坐標是(-1,1,h)

19.（12分）已知函數(shù)

(1) 討論f的單調性

(2) 證明：當a>0時，f(x)>2ln a +1.5

解析：(1)

當a>0時，導函數(shù)單調增，且大于-1，因此存在一點(x0,y0)，使f’=0

此時x=ln(1/a)=-lna，f先減后增，最小值為1+a2+ln a

即當x<-ln a時f(x)單調減，當x≥-ln a時f(x)單調增

當a=0時f‘<0，f(x)單調減

當a<0時，導函數(shù)單調減，且小于-1，f(x)單調減

(2)由(1)知，當a>0時fmin=f(-lna)=1+a2+ln a

設g(x)= x2-ln x

g’=2x -1/x=(2x2-1)/x

當1/√2>x>0時，g’<0

當1/√2<x時，g’>0

x>0時gmin=g(1/√2)= 0.5+0.5ln2

所以a2-ln a≥0.5+0.5ln2>0.5

1+ a2-ln a>1.5

1+ a2+2ln a>ln a+1.5

所以f(x)≥1+a2+ln a>ln a+1.5

?

20.（12分）已知數(shù)列{an}，公差d>1，bn=(n2+n)/an，設an前n項和Sn，bn前n項和為Tn

(1)若3a2=3a1+a3，T3+S3=21，求an

(2)若{bn}為等差數(shù)列，S99-T99=99，求d

解析：(1)3a2=3a1+a3

3a2=3a2-3d+a2+d

a2=2d

所以an=nd

bn=(n+1)/d

S3=6d，T3=9/d

6d+9/d=21，d>1

(2d-1)(d-3)=0

d=3，an=3n

(2)若{bn}為等差數(shù)列設公差為t，那么

bn=(n2+n)/[a1+(n-1)d]=b1+(n-1)t

那么a1+(n-1)d是(n2+n)的因式，而(n2+n)的因式有n、(n+1)

所以a1+(n-1)d=p*n或a1+(n-1)d=q*(n+1)，其中p,q是常數(shù)

因此a1=d或a1=2d

an=nd或an=(n+1)d

當an=nd時，bn=(n+1)/d

Sn=(n+1)nd/2，Tn=(n+3)n/2/d

4950d-5049/d=99

550d2-11d-561=0

50d2-d-51=0

(50d-51)(d+1)=0

d=51/50或-1(舍)

當an=(n+1)d時，bn=n/d

Sn=(n+3)nd/2，Tn=(n+1)n/2/d

5049d-4950/d=99

51d2-d-50=0

(51d+50)(d-1)=0，同理根都不大于1，皆舍去

所以d=51/50

?

21.(12分)甲乙兩人投籃，每次由其中一人投，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃，無論之前情況如何，甲投中的概率為0.6，乙投中的概率為0.8，抽簽決定由誰來先投籃，第一次投籃的人是假，乙的概率概率各為0.5

(1)求第2次為乙投籃的概率

(2)求第i次甲投籃的概率

解析：(1)第2次為乙投籃，那么可能是第一次是乙且投中，概率為0.5×0.8=0.4，或者第一次是甲但未命中，此時概率為0.5×0.4=0.2，兩次是互斥事件，因此第2次為乙投籃的概率為0.6

(2)第i次為甲投籃的事件為ai，那么由(1)可得

22（12分）點P到x軸的距離與到點(0,0.5)的距離相等，記P的軌跡為w

(1) w的方程

(2)若矩形ABCD上有三個頂點在w上，證明矩形ABCD周長大于3√3

解析：(1)根據(jù)題意w的軌跡是拋物線，因此w方程為

y=x2+0.25

(2)如果矩形有3個頂點在拋物線上，必然有頂點連接兩條邊，不妨設這點為P1(x1,y1)，并設與其相鄰的點為P0(x0,y0)，P2，P0P1與x軸正方向的夾角為A（90°>A>0），根據(jù)題意，直線P0P1的參數(shù)方程為

代入曲線w，得

所得t就是矩形一條邊的長度，不妨設t>0，則

根據(jù)參數(shù)方程可得x1的坐標為

同理將P1P2的參數(shù)方程（就是將P0P1參數(shù)方程中的“sin”換成“-cos”，“cos”換成“sin”）代入w可得

設兩條相鄰邊的和為l，那么l的值為

這里

由于對稱關系，不妨令此時sinA-cosA>0，前面證明出2x0< -tan A，那么有

根據(jù)分母大于0，對于A討論分母的單調性

當時取最大值，此時sinA-cosA>0，分母可以取到最大值，那么

因此矩形ABCD周長2l大于3√3