思路（A≠0，B≠0場(chǎng)景）

①后乘矩陣列分塊

AB＝0 即可化為 Aβi＝0①

其中βi是矩陣B列向量。

②轉(zhuǎn)換至方程組求解

因?yàn)锽≠0，βi必不可能全部要素為0。故①式可理解為AX=0存在非零解（βi替換X作為方程解，也說(shuō)明了“βi是解”這一性質(zhì)）。故由方程組定義，存在S（S＝n-r(A)）個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量ci（i為1到s的整數(shù)），構(gòu)成AX=0的基礎(chǔ)解系。

③βi解的性質(zhì)應(yīng)用（即轉(zhuǎn)換矩陣B的秩，找關(guān)系）

因?yàn)棣耰是方程組AX＝0的解，其必可以被基礎(chǔ)解系線性表出。（基礎(chǔ)解系的定義）

故存在一組不全為0的常數(shù)k，使得下式成立：

βi=k1i×c1+k2i×c2+...+ksi×cs（c是向量，k是常數(shù)）進(jìn)而可以拆分成兩個(gè)矩陣

βi＝（c1,c2,...,cs）×（k1i,...,ksi）T。（其中ci是列向量，前邊一個(gè)括號(hào)內(nèi)是一個(gè)n×s大矩陣，ki是每項(xiàng)前的系數(shù)項(xiàng)，這里后邊打轉(zhuǎn)置指這個(gè)是個(gè)s×1的列向量，這個(gè)列向量記作Ki）

進(jìn)而B可表示為

B=C×K，C即（c1,...,cs），K即（K1,...,Kn）

對(duì)于B是n*t階矩陣的場(chǎng)景，C即為n*s階，K為s*t階。

故r（B）≤min{r（C）,r（K）}

而r（C）≤min{n,s}，r（K）同理

故r（B）≤min{n,s}

且，s＝n-r（A），A≠0即A的秩必不為0，故s＜n

→r（B）≤s＝n-r（A）

得證 r（A）+r（B）≤n，n為A的列數(shù)

注1：該結(jié)論實(shí)際不要求方塊陣，也不要求A或B≠0，對(duì)以上場(chǎng)景恒成立

注2：根據(jù)該結(jié)論也可推知，r（A）=n-1時(shí)，r（A*）=1，即A伴隨的秩為1