（Tips：給各位推薦一本特別有價(jià)值的書《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》（分三冊(cè)），由群論大佬菲利克斯·克萊因編著；本期封面來(lái)源于@混數(shù)魔王----雨殤）

書中，對(duì)于連續(xù)有一段說(shuō)明，稱為“連續(xù)性的柯西定義”，現(xiàn)將其帶給讀者：

一個(gè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的條件有二：首先，它在這點(diǎn)唯一地確定；第二，對(duì)于無(wú)論多小的正數(shù)?，總有一個(gè)具有如下性質(zhì)的正數(shù)?：在每一個(gè)含在內(nèi)的節(jié)（也就是閉區(qū)間）里的，，只要，就有。結(jié)合極限定義，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)定義和現(xiàn)今定義是等價(jià)的。

此后文章中如有涉及左右連續(xù)、左右導(dǎo)數(shù)的概念，讀者可自行類比左右極限的定義，在此不多贅述了。

第六期 連續(xù)、可導(dǎo)與間斷（2）

我們繼續(xù)考慮函數(shù)在某點(diǎn)處不可導(dǎo)的情況，也就是這個(gè)式子的值不存在的情況。

（1）或無(wú)意義，也就是函數(shù)在以為中心的任何一個(gè)鄰域內(nèi)都不全有定義。從幾何意義上來(lái)說(shuō)，如果函數(shù)在處無(wú)定義，或只有孤零零的處一個(gè)點(diǎn)，那自然沒(méi)有切線了。此時(shí)函數(shù)顯然是不連續(xù)的。

（2）和均有意義，但不為0，也就是函數(shù)在處出現(xiàn)了函數(shù)值的瞬間跳躍。從幾何意義上來(lái)說(shuō)，函數(shù)在處的切線只能是聯(lián)結(jié)和兩點(diǎn)，得到一條垂直于軸的直線，斜率為無(wú)窮大。此時(shí)函數(shù)顯然是不連續(xù)的。

（3）為0，但左右導(dǎo)數(shù)不相等。從幾何意義上來(lái)說(shuō)，就是得到的切線不唯一。例如在0處的切線既可以是也可以是。

（4）為0，但是比低階的無(wú)窮小。這便是我們?cè)谏掀谥信e的例子的情況，其在0處具有垂直于x軸的切線。代數(shù)上說(shuō)，當(dāng)時(shí)，，顯然比低階。

從上述（4）種情況來(lái)看，函數(shù)連續(xù)而不可導(dǎo)，等價(jià)于出現(xiàn)了（3）（4）兩種情況。

下面是兩個(gè)顯然而重要的定理，其對(duì)此后三大微分中值定理（羅爾，拉格朗日，柯西）打下了重要基礎(chǔ)：

定理1（有界性與最值存在性定理）? 在閉區(qū)間上連續(xù)（即在左端點(diǎn)右連續(xù)，在右端點(diǎn)左連續(xù)）的函數(shù)在該區(qū)間上有界，且能取到在界內(nèi)的最值。?

定理2（介值定理）? 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則對(duì)于與之間的任意一個(gè)數(shù)，，使得。

定理1這里不予證明，也很好理解。定理2從幾何意義上來(lái)講，就是在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)一定能經(jīng)過(guò)在端點(diǎn)函數(shù)值之間的一切函數(shù)值。我們不妨對(duì)其進(jìn)行證明。在《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中，作者使用了“十進(jìn)制證明”，下述證明是改寫過(guò)的。另外，這里的連續(xù)還應(yīng)加一條件：該區(qū)間能分成有限個(gè)單調(diào)區(qū)間。那么，我們只需證明單調(diào)區(qū)間內(nèi)的情況即可。

我們先令，即得零點(diǎn)定理。再不妨假設(shè)。將閉區(qū)間進(jìn)行二等分（利用二分法，事實(shí)上等分?jǐn)?shù)是沒(méi)有限制的），其中必有一個(gè)閉區(qū)間滿足。若二者中能有一個(gè)取等，則命題立刻得證；我們假設(shè)都不能取等。那么閉區(qū)間又可以二等分，使得其中必有一個(gè)閉區(qū)間滿足。我們?nèi)约僭O(shè)都不能取等，再對(duì)其二等分?！@樣的過(guò)程可以無(wú)限進(jìn)行下去。

我們最終可以得到一個(gè)無(wú)限小的閉區(qū)間（）。其中。又因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，故。非負(fù)數(shù)和非正數(shù)相等，只可能它們都等于0，即。是同理的。那么零點(diǎn)定理就完全得證了。

下面證明介值定理。令，則仍是在內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，且。由零點(diǎn)定理，

即

在這個(gè)定理的證明過(guò)程中，我們無(wú)意中用到了一個(gè)重要結(jié)論：若在的某一去心鄰域內(nèi)都有，且，則。（在證明過(guò)程加粗的部分運(yùn)用了它）

另外，我們?cè)诖饲暗挠?jì)算中已經(jīng)遇到了這種情況：求極限時(shí)，直接將代入被求極限的式子中。由連續(xù)的定義，我們知道：若在處連續(xù)，則。

有了這條定理，許多極限都迎刃而解了，因?yàn)?strong>初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。（此處不予證明）