雷姆定理

在網(wǎng)上，我嘗試找雷姆的個人生平，我發(fā)現(xiàn)這個資料挺少的。在一個偶然的機會，在一個法國的網(wǎng)站上找到了雷姆的個人生平。

由于內(nèi)容都是法語，因此我們用微軟翻譯將之翻譯為中文，大致上了解了此人的生平，將翻譯結(jié)果也顯示在這里。

安東·雷姆(Anton Reim)

安東是溫澤爾·雷姆(Wenzel Reim)和弗蘭齊斯卡·肖特(Franziska Schott)的兒子，1832年10月6日出生在波西米亞的一個小鎮(zhèn)格羅索切豪，距離布拉格約100公里。

青少年時期，他就讀于波德爾薩姆中學(xué)，然后轉(zhuǎn)學(xué)到薩茲中學(xué)，在那里展現(xiàn)出對數(shù)學(xué)的真正才能，后來前往柏林學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

約在1860年代前往圣彼得堡學(xué)習(xí)，后來成為布拉格的一名教授，于1866年1月結(jié)婚。他對幾何學(xué)的熱情從未消退，尤其是在以三角形幾何學(xué)為核心的幾何學(xué)煥發(fā)出新生的時期。

他對圓的美著迷，曾在一篇簡短的論文中闡述了自己的哲學(xué)思想，其中呈現(xiàn)了今天以他名字命名的迷人的雙生圖形。他還因其音樂才華而著名，擅長演奏大提琴，并成為一支穿越歐洲的樂團的指揮。

晚年時，他回到了父親留給他的戈羅索切豪農(nóng)場，擔(dān)任農(nóng)場經(jīng)理。他于1922年1月23日在自己的土地上去世。

雷姆定理(Reim's therorem)

設(shè),是相交于點,的兩個圓。過點的直線與,分別于點,相交。設(shè),分別是,上的點。當(dāng)且僅當(dāng)共線于一條直線上時，有。

證明

倘若時，容易得到，這個交由觀眾證明。

倘若與相交于點，不妨設(shè)為點在圓的一側(cè)，如圖所示。

連接,,顯然我們有

這樣，我們就有

這樣，我們就得到了

因此，我們得到如下等式成立。

有圓冪定理，我們得到

因此

這樣，我們就能得到

顯然，將以上的證明過程導(dǎo)過來，我們就能證明雷姆定理的逆定理。

這個定理雖然簡單，但是卻很強大，接下來，我們給一個例題，該例題就是2023年IMO的第二題，我們嘗試使用雷姆定理進行證明。

2023年IMO第二題

在銳角中，,是外接圓，是弧的中點。過作的垂線交于點,交于點。過做的平行線交直線于點,設(shè)的外接圓與交于另一點。

求證:在處的切線與直線的交點在的平分線上。

證明

設(shè)點為以圓的圓心,為以為中心的對稱點，為以為中心的對稱點。

過點做圓的切線交圓于點。

首先，顯然,

因此，我們可以得到,

即可以得到

由Reim定理逆定理，我們顯然可以得到共線。

切點可以看做兩個相同的點，由Reim定理，我們可以得到。

這樣，在 與,顯然有

有笛沙格定理，我們?nèi)菀字?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=AK">,,三線共點或者三線平行。

而三線平行是不可能的，因此只能三線共點。

這樣我們就證明了該問題。

我們發(fā)現(xiàn)，巧妙的利用雷姆定理，可以很方便的解決競賽難題。