我們今天結(jié)束最后一題遺留的部分，比上一次的部分要復(fù)雜一些——

35例題

6.迭代數(shù)列：x1=c/2，xn+1=c/2+xn^2/2，（c為實(shí)數(shù)）——

上次老碧說(shuō)，這題要討論清楚c的所有取值，其實(shí)不是，這道題只是討論了兩種比較特殊的情況：

上次我們談?wù)摿耍?span id="s0sssss00s" class="color-lblue-03">正項(xiàng)數(shù)列，即每一項(xiàng)均為正數(shù)的情況；

這次，我們繼續(xù)討論負(fù)項(xiàng)數(shù)列，即每一項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的情況。

至于正負(fù)交替情形的嚴(yán)格證明，書(shū)上并未給出，情況比較復(fù)雜，我們也先直接略去，感興趣的同學(xué)可以自己有空的時(shí)候想想怎么弄。

實(shí)際上一道題即使做不出來(lái)，思考的過(guò)程也會(huì)有很多收獲，對(duì)一些知識(shí)的認(rèn)知會(huì)更一步加深。

我們上次做過(guò)分析——

1. 顯然c=0的時(shí)候這個(gè)數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列xn=0，我們主要考慮c不為0的情況；

2. 作差：xn+1-xn=（c/2+xn^2/2）-（c/2+xn-1^2/2）=（xn^2-xn-1^2）/2；

3. 又x2-x1=（c/2+x1^2/2）-x1=（c/2+x1^2/2）-c/2=x1^2/2=（c/2）^2/2=c^2/8；

4. 我們做一步簡(jiǎn)單的運(yùn)算：xn+1-xn=（xn^2-xn-1^2）/2=（xn+xn-1）（xn-xn-1）/2={（xn+xn-1）[（xn-1^2-xn-2^2）/2]}/2=（xn+xn-1）（xn-1+xn-2）（xn-1-xn-2）/4=（xn+xn-1）（xn-1+xn-2）……（x2+x1）（x2-x1）/2^（n-1）=（xn+xn-1）（xn-1+xn-2）……（x2+x1）（c^2/8）/2^（n-1）=（xn+xn-1）（xn-1+xn-2）……（x2+x1）c^2/2^（n+2）；

5. 另外：xj-xk=（c/2+xj-1^2/2）-（c/2+xk-1^2/2）=（xj-1^2-xk-1^2）/2；

6. ……

我們討論過(guò)正項(xiàng)數(shù)列的概念，由4、5，我們可以繼續(xù)討論負(fù)項(xiàng)數(shù)列有極限時(shí)，c的范圍——

a).-3<=c<0——這個(gè)范圍可以從負(fù)項(xiàng)數(shù)列有極限這個(gè)條件中直接導(dǎo)出，我們按照正常思路梳理，書(shū)上的步驟會(huì)讓人覺(jué)得有些困惑——

分析——分析步驟是草稿紙上的步驟，正常做題，選出來(lái)關(guān)鍵步驟即可——

1. 我們已知c<0，xn<0，則xn+1=c/2+xn^2/2>c/2；

2. 又因?yàn)橐ＷC數(shù)列是負(fù)項(xiàng)數(shù)列，則x1=c/2<0，x2=c/2+x1^2/2=c/2+（c/2）^2/2=c/2+c^2/8<0，得到-4<c<0；

3. 所以可以初步判斷，在-4<c<0的范圍內(nèi)，由xn+1-xn=（xn+xn-1）（xn-1+xn-2）……（x2+x1）c^2/2^（n+2）——

   在n為偶數(shù)時(shí)，即n=2k時(shí)（其中k=1，2,3，……）時(shí)，xn+1-xn=x2k+1-x2k=（x2k+x2k-1）（x2k-1+x2k-2）……（x2+x1）c^2/2^（n+2）<0，

   在n為奇數(shù)時(shí)，即n=2k-1時(shí)（其中k=1，2,3，……）時(shí)，xn+1-xn=x2k-x2k-1=（x2k-1+x2k-2）（x2k-2+x2k-3）……（x2+x1）c^2/2^（n+2）>0，

   所以，相鄰兩項(xiàng)按照，減增減增……的規(guī)律變化；

4. 類似情況下，就開(kāi)始考慮，該數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列、該數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列各自的單調(diào)性，由xj-xk=（xj-1^2-xk-1^2）/2——

   該數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列，有x2k+2-x2k=（x2k+1^2-x2k-1^2）/2，

   該數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列，有x2k+1-x2k-1=（x2k^2-x2k-2^2）/2；

5. 由x3>c/2=x1，猜測(cè)x2k+1>x2k-1，進(jìn)而推測(cè)x2k^2>x2k-2^2，因?yàn)?span id="s0sssss00s" class="color-blue-02">x2k與x2k-2都小于0，則x2k<x2k-2，證明——

   a.做一個(gè)簡(jiǎn)單的變形：x2k+2-x2k=（x2k+1^2-x2k-1^2）/2=（x2k+1+x2k-1）（x2k+1-x2k-1）/2=（x2k+1+x2k-1）（x2k^2-x2k-2^2）/4=（x2k+1+x2k-1）（x2k+x2k-2）（x2k-x2k-2）/4；

   b.由此可知，x2k+2-x2k的符號(hào)與x2k-x2k-2的符號(hào)一致，即，x2k+2-x2k的符號(hào)與x4-x2符號(hào)一致，同理可知，x2k+1-x2k-1的符號(hào)與x3-x1符號(hào)一致，又x3>x1，即x3-x1>0，x2k+1-x2k-1>0；

   c.又因為x4-x2=（x3^2-x1^2）/2，即x4-x2的符號(hào)與x3^2-x1^2的符號(hào)一致，又0>x3>x1，則x3^2<x1^2，得到x4<x2，x4-x2<0，則x2k+2-x2k<0；

   d.由c，該數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列{x2k}為單調(diào)遞減數(shù)列，由b，該數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列{x2k-1}為單調(diào)遞增數(shù)列；

6. 由1、2知，在-4<c<0，數(shù)列{xn}為有界數(shù)列——取值范圍[-c/2,0），由5知，該數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列{x2k}為單調(diào)遞減數(shù)列，該數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列{x2k-1}為單調(diào)遞增數(shù)列，它們分別有極限a'，a"，當(dāng)這兩個(gè)極限相等的時(shí)候，原數(shù)列{xn}收斂。

由上述分析以及迭代關(guān)系式，令k趨向于無(wú)窮大，即可得到關(guān)于a'與a"的方程組——

1. lim x2k=lim（c/2+x2k-1^2/2）=c/2+（lim?x2k-1^2）/2，即a'=c/2+a"^2/2；

2. lim?x2k-1=lim（c/2+x2k-2^2/2）=c/2+（lim?x2k-2^2）/2，即a"=c/2+a'^2/2；

3. 消去c：由1，c=2a'-a"^2，代入2，a"=（2a'-a"^2）/2+a'^2/2，化簡(jiǎn)得到，a"-a'=（2a'^2-a"^2）/2，提公因式，（a"-a'）（a"+a'+2）=0；

4. 我們要找到數(shù)列收斂的c的范圍，由數(shù)列收斂，得到a'=a"，而a"+a'+2的取值待定——

   a.假如a"+a'+2=0，則a"=-2-a'；

   b.又a"=c/2+a'^2/2，則-2-a'=c/2+a'^2/2，即a'^2+2a'+c+4=0；

   c.因?yàn)閍'與a"此時(shí)相等，而b中方程的解對(duì)應(yīng)數(shù)列{x2k}與{x2k-1}的極限的取值，所以不存在相異解，即Δ=4-4（c+4）<=0，c>=-3；

   d.若負(fù)項(xiàng)數(shù)列{an}收斂，則a"+a'+2當(dāng)且僅當(dāng)c=-3時(shí)為0，此時(shí)數(shù)列極限為-1，其余情況下，均不為0；

5. 由此得到，當(dāng)-3<=c<0時(shí)，原負(fù)項(xiàng)數(shù)列收斂。

所以，本著探究的態(tài)度，我們結(jié)束了這一個(gè)復(fù)雜的習(xí)題。

我們下期再見(jiàn)！