【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經與如今迥異，因此不建議零基礎學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學叢書”系列17冊的基礎上又添加了1冊八五人教中學甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠對偶平衡；二則，我認為《微積分初步》這本書對“準大學生”很重要，以我的慘痛教訓為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學了個寂寞。另外大學物理的前置條件是必須有基礎微積分知識，因此我所讀院校的大學物理課是推遲開課；而比較生猛的大學則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學課）。我選擇在“自學叢書”17本的基礎上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學前可以看看，不至于像我當年那樣被高數(shù)打了個措手不及。

第四章因式分解

§4-6因式分解的一般步驟

【01】上面我們學過了多項式因式分解的一些基本方法，利用這些方法可以分解某些多項式的因式。在解題的時候，按照下面的步驟來做，可以使我們容易得出正確的結果。

????(1)先看有沒有公因式。如果有，要首先提取出來。

????(2)再看能不能應用各種因式分解的公式。

????????1)如果是二項式，看能不能應用平方差公式，或立方和與立方差公式，如果既可以應用平方差公式，又可以應用立方差公式，總要先用平方差公式。

????????2)如果是三項式，看能不能應用完全平方式的公式。

????????3)如果是四項式，看能不能應用完全立方式的公式。

????(3)如果是二次三項式的形式，看能不能分解成二個一次二項式。

????(4)如果是四項式或四項以上的多項式，看能不能把多項式分成幾組，或調換各項次序之后提取多項公因式，或聯(lián)合應用幾種公式。

????(5)在分解因式之后，還要看能不能繼續(xù)分解，一定要分解到不能分解為止。

????(6)分解得到的結果要進行整理。

????????1)在分解因式之后，有相同的因式要寫成冪的形式。

????????2)在各個因式內，要進行化簡。

例1.分解因式：a?b－a2b3＋a3b2－ab?? 。

【解】

【說明】先提公因式 ab? 。再分成兩組提出多項公因式 a2－b2? 。再把?a2－b2?分解成 (a＋b)(a－b)? 。兩個 a＋b 的因式要寫成 (a＋b)2 的形式。

例2.分解因式：8(x＋y)3－27(x－y)3? 。

【解】

【說明】先按照立方差公式分解，不要忘記系數(shù) 8 就是 23，27 就是 3?? 。兩個因式內部要去掉小括號整理合并同類項。19x2－10xy＋7y2 雖然是二次三項式的形式，但不能再分解了。

例3.分解因式：x1?－3x12y?＋3x?y12－y1?? 。

【解】

【說明】先化成兩數(shù)差的立方。x?－y? 可以用平方差公式繼續(xù)分解，也可以用立方差公式繼續(xù)分解，應該用平方差公式，然后再用立方和差公式分解。注意在括號[ ]外邊原來有指數(shù) 3，在最后一步中，去掉中括號時，根據(jù)積的乘方法則，每個因式都要有指數(shù) 3。

例4.分解因式：a2－2ab＋b2－5a＋5b＋6? 。

【解】a2－2ab＋b2－5a＋5b＋6＝(a－b)2－5(a－b)＋6＝[(a－b)－3][(a－b)－2]＝(a－b－3)(a－b－2)? 。

【說明】先分成三組，前面三項一組，可化成 (a－b)2，第4第5項一組，可以提出公因式－5，這樣就化成 (a－b) 的二次三項式的形式，再照二次三項式分解。

例5.分解因式：(1)－a2＋6ab－9b2；(2)－x2－3x＋4? 。

【解】

(1)－a2＋6ab－9b2＝－(a2－6ab＋9b2)＝－(a－3b)2；

(2)－x2－3x＋4＝－(x2＋3x－4)＝－(x＋4)(x－1)? 。

【說明】這兩個式子在提出負號之后，就比較容易分解因式，但是切勿漏掉負號。如果把－a2＋6ab－9b2 做成 a2－6ab＋9b2＝(a－3b)2，－x2－3x＋4 做成 x2＋3x－4＝(x＋4)(x－1)，那就錯了。

習題4-6

分解因式：

【答案】