在2022年8月26日的專欄“三邊成形，幾何穩(wěn)定”中我們得出結(jié)論：①對于任意一個可解的三角形，其外接圓和內(nèi)切圓亦是可解的，其內(nèi)切圓半徑 r=√p（p-a）（p-b）（p-c）/p

；②對于任意一個直角三角形ABC，其斜邊c與兩直角邊a、b滿足不等式c≥√2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.

本文章常用符號：△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，R為外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，p為半周長

（Ⅰ）

我們先對第②條結(jié)論進(jìn)行推廣，即突破Rt△ABC的限制，推廣到任意三角形.

不妨設(shè)c為較長邊，a，b為較短邊（?a，b∈R?，a=b），

根據(jù)

余弦定理

，我們有：

c2=a2+b2-2abcosC，

又 a，b＞0

所以有

重要不等式

a2+b2≥2ab成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號

∴c2=a2+b2-2abcosC≥2ab（1-cosC）

∴

c2≥2ab（1-cosC），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號

又因?yàn)樵诖瞬坏仁降耐茖?dǎo)中，與c是否是較長邊無關(guān)，所以：

對于任意的△ABC，總有

a2≥2bc（1-cosA），

b2≥2ac（1-cosB），

c2≥2ab（1-cosC）. （i）

成立，當(dāng)且僅當(dāng)令外兩邊相等時取等號.

因此，我們可以更好地理解第②條結(jié)論：

當(dāng)∠C=90°時，其對邊c自然而然成為了最長邊（即Rt△ABC的斜邊）因而c≥√2ab（1-cos90?）=√2ab（1-0）=√2ab.

另外地，根據(jù)

余弦定理

的轉(zhuǎn)化和

平方差公式

，我們可以得到：

1-cosA=1-（b2+c2-a2/2bc)=（a2-b2-c2+2bc)/2bc=[a2-（b-c）2]/2bc=（a+b-c）（a+c-b）/2bc，

同理，1-cosB=（b+a-c）（b+c-a）/2ac，

1-cosC=（c+a-b）（c+b-a）/2ab

∴

a2≥（a+b-c）（a+c-b），

b2≥（a+b-c）（b+c-a），

c2≥（a+c-b）（b+c-a）. （ii）

其取等條件與（i）一致.

那么，我們姑且稱不等式（i）為“三角形三邊關(guān)系的角形式”，稱不等式（ii）為“三角形三邊關(guān)系的邊形式”

（Ⅱ）

根據(jù)“三角形三邊關(guān)系的邊形式”我們可以研究三角形的一些其他性質(zhì).

根據(jù)

正弦定理

，我們有：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

∴S△ABC=?absinC=abc/4R

由“三角形三邊關(guān)系的邊形式”得：

S△ABC=abc/4R≥（a+b-c）（a+c-b）（b+c-c）/4R

由于涉及到三邊，所以取等條件為當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，若引進(jìn)半周長p=?（a+b+c），則

a2≥4（p-b）（p-c），

b2≥4（p-a）（p-c），

c2≥4（p-a）（p-b）.

所以S△ABC≥2/R（p-a）（p-b）（p-c），

其取等條件與上述面積不等式相一致.

再根據(jù)

海倫公式

得：

√p（p-a）（p-b）（p-c）≥2/R（p-a）（p-b）（p-c）

化簡整理得：

R2≥4/p（p-a）（p-b）（p-c）

又由第①條結(jié)論得：

△ABC內(nèi)切圓半徑 r=√p（p-a）（p-b）（p-c），兩邊平方，得：

r2=1/p（p-a）（p-b）（p-c）

∴R2≥4r2?R≥2r

幾何意義：任意一個三角形的外接圓半徑總是不小于內(nèi)切圓直徑，當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時，外接圓半徑等于內(nèi)切圓直徑.

我們知道

歐拉公式

中有一個求外接圓和內(nèi)切圓圓心距的公式 d=√R（R-2r），這個公式從客觀上告訴我們△ABC總有R≥2r成立，由此，我們可以更好地理解該不等式的合理性.

（Ⅲ）

如何證明

歐拉圓心距公式

d=√R（R-2r）

？

為方便證明，我們不妨先求證 d2=R2/2Rr

以上便是本次專欄的所有內(nèi)容，本人才疏學(xué)淺，如有不足之處望加之斧正.

2023.6.7