龍格-庫(kù)塔法(R-K)是一種求解常微分方程數(shù)值解的單步算法，其特殊形式有：歐拉法，改進(jìn)歐拉法......本推文中基于泰勒級(jí)數(shù)法推導(dǎo)龍格庫(kù)塔（顯）格式，并附上各算法的matlab數(shù)值案例。

R-K格式理論基礎(chǔ)

考慮常微分微分方程：

在x-y平面上，上述微分方程的解y=y(x)稱作它的積分曲線；積分曲線上一點(diǎn)的切線斜率等于函數(shù)f(x,y)的值。

如果按照函數(shù)f(x,y)在x-y平面上建立一個(gè)方向場(chǎng)，那么積分曲線上每一點(diǎn)的切線方向均與方向場(chǎng)在該點(diǎn)的方向一致。

微分方程具有等效的積分方程形式：

采用數(shù)值積分近似右端項(xiàng)，事實(shí)上此時(shí)已經(jīng)變成了一個(gè)差分方程：

數(shù)值積分格式的精度直接影響了微分方程解的精度。在此處稱\fai為增量函數(shù)，求解的核心過(guò)程也就是構(gòu)造增量函數(shù)的過(guò)程！以下對(duì)增量函數(shù)做一些分類，以定義不同的求解格式：

十分經(jīng)典的求解格式有：

歐拉法，后退歐拉法，梯形法，改進(jìn)歐拉法

它們對(duì)應(yīng)的數(shù)值積分方法圖示依次為：

上文提到數(shù)值積分格式的精度直接影響了微分方程解的精度（上述的四種經(jīng)典方法由于積分點(diǎn)的限制，最高也只能到2-階精度），那如何提高精度呢？答案是增加積分點(diǎn)。

為了更好地理解這一過(guò)程，我們從泰勒展開出發(fā)。將y(x_{n+1})在x_n點(diǎn)泰勒展開：

將上式中的高階小量忽略，用\Delta作為求解格式，得到的便是一個(gè)p-階算法。如果構(gòu)造出的增量函數(shù)與\Delta足夠接近，那么得到的也將是一個(gè)p-階的求解格式。

現(xiàn)在推導(dǎo)p=2的R-K格式（2個(gè)積分點(diǎn)）：

最后讓"同類項(xiàng)"的系數(shù)相等，可以得到：

這里的解不唯一，選擇下面一組解，得到的將是改進(jìn)的歐拉法（又稱預(yù)估-校正格式：采用歐拉法預(yù)估，再用梯形法迭代一次進(jìn)行校正；本質(zhì)上是顯示算法）：

對(duì)于更高階的R-K格式，推導(dǎo)方法一致：

?選擇更多的泰勒展開項(xiàng);

?選擇更多的積分點(diǎn);

?全部展開后比較同類項(xiàng)系數(shù);

下面給出R-K3與R-K4的常用格式：

數(shù)值案例

四種經(jīng)典方法

定義微分方程

歐拉法

改進(jìn)歐拉法

隱式歐拉法

梯形法

龍格庫(kù)塔四階方法

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