現(xiàn)如今金融市場高速發(fā)展,產(chǎn)生了很多金融衍生品,豐富了金融市場.其中期權成為金融衍生品的重要組成部分,也成為人們日益關注的投資產(chǎn)品.本文介紹了期權的產(chǎn)生以及期權定價理論的發(fā)展歷程,并詳細介紹了常見期權定價模型有哪些？簡述期權定價模型公式！

一、期權定價模型概述

現(xiàn)代衍生品定價理論基于Black-Schoes（1973）中的復制對沖框架，逐步發(fā)展為以無套利原理為基礎的風險中性定價理論。復制對沖的前提是對標的資產(chǎn)建立動態(tài)模型，以描述標的資產(chǎn)的變化，而標的資產(chǎn)建模的核心是對波動率建模。

二、BSM模型

該模型是現(xiàn)代期權定價理論的基石，它假設標的資產(chǎn)走勢服從幾何布朗運動：

三、二叉樹模型

一定程度上，二叉樹模型可以視為離散化的BSM模型，當滿足一些條件時，二叉樹模型的極限形式就是BSM模型。二叉樹模型可以用來定價和對沖歐式和美式期權，定價美式期權時需要在每個節(jié)點處比較行權價值和持有價值的大小。二叉樹模型的優(yōu)點是簡單易行，缺點是對沖效率不及連續(xù)模型，且波動率本質上依然是固定的。

四、局部波動模型

顯然，BSM模型是局部波動（Local Volatility, LV）模型的特例。第一種類型的LV模型不指定波動率函數(shù)的具體形式，而是由市場價格隱含給出，且在一定條件下可以證明存在唯一的局部波動率函數(shù)使得模型價格和市場價格保持一致，從這種意義上說該類LV模型可以完全擬合波動率曲面。第二種LV模型是指定具體的波動率函數(shù)，其中最著名的是常彈性（CEV）模型：

五、簡述期權定價模型公式

簡單期權定價模型。我們把股價隨機末態(tài)簡化為兩個等效的等概率量子態(tài)，要么50%的概率上漲到+1X的右邊一個標準差處，要么50%的概率下跌到-1X的左邊一個標準差處。

顯然，對于認購期權，在-1X末態(tài)的行權收益是0；在+1X末態(tài)的行權收益是S*(1+σ)-K。其中S是當前（初態(tài)）股價，K是到期日的行權價。根據(jù)初態(tài)=末態(tài)期望值的原理，認購期權價格C=0.5*0+0.5*[S*(1+σ)-K]= 0.5*[S*(1+σ)-K]。這對于平值和淺度虛值期權是適用的。對于平值期權K=S，C=0.5*S*σ。比如，當前股價S=3.3元，月波動率為σ=6%，那么行權價K=3.3元，剩余T=30天期限的平值認購期權價格就是，C=0.5*3.3*6%=0.0990元。

對于深度實值期權，當股價末態(tài)為-1X處，仍然會有行權收益。所以，認購期權價格C=0.5*[S*(1-σ)-K]+0.5*[S*(1+σ)-K]=S-K。比方說，對于深度實值期權實三K=3.0元，當股價從當前價S=3.3元下跌至末態(tài)（-1X處）ST=3.1元，仍然會有3.1-3.0=0.1元的行權收益。所以，實三期權價格C=S-K=3.3-3.0=0.3元。

對于深度虛值期權，當股價末態(tài)在+1X處，也沒有行權收益。故C=0.5*0+0.5*0=0。比如，對于虛三K=3.6元，即使末態(tài)股價波動到+1X處的3.5元，仍然不能行權。?當然，實際市場數(shù)據(jù)的虛三價格不是0，大約是0.0125元，這個我們后面再講。

如果行權價格的間隔恰好是0.5*S*σ，比如當前股價S=3.3元，月波動率6%，剩余30天的行權價K=3.3元就是平值期權，K=3.1元就是實二認購期權，K=3.2元就是實一；K=3.4元是虛一認購期權，K=3.5元是虛二認購。?平值認購期權的價格0.5*S*σ≈0.1元，虛一認購是0.5*[S(1+σ)-S(1+0.5σ)]=0.25*S*σ≈0.05元；虛二認購是0.5*[S(1+σ)-S(1+σ)]=0。實一認購價格0.5*[S(1+σ)-S(1-0.5σ)]=0.75*S*σ≈0.15元；實二是0.5*[S(1+σ)-S(1-σ)]= S*σ≈0.2元，這與S-K=3.3-3.1=0.2元也是一致的。實三價格是1.5*S*σ，也等于3.3-3.0=0.3元，實四價格是2*S*σ=0.4元。

從虛一到平值是2倍關系，從平值到實一是1.5倍關系，從實一到實二是4/3倍。但從實二到實三是跳躍的1.5倍，這不符合風險補償原理。實際是，實值期權的跟隨漲幅會依次減少。?從虛二到虛一，理論是從0到0.25*S*σ，好像是無窮大倍數(shù)，但實際數(shù)據(jù)是2倍多一點的關系。虛值期權的價格大約成等比數(shù)列的關系，就是說，如果你認為未來幾天股價短線會上漲+3%，那么你選擇買入虛四或虛三或虛二認購，實際漲幅都是幾乎一樣的。當然，由于風險補償，從虛四到虛三大約是3倍漲幅，要高于虛一到平值的2倍漲幅。綜合風險收益比，如果預判短線股價會上漲，應該最優(yōu)選擇買入虛二認購。因為，深度虛值期權有到期清零的風險，而深度實值期權的跟隨漲幅明顯又太小。

對于平值及淺度虛值的認沽期權價格P，顯然當股價下跌至-1X處，才能有行權收益K-S（1-σ），而在+1X處，認沽期權無法行權，即收益為0。再根據(jù)初態(tài)=末態(tài)期望值的原理，就有P=0.5*[ K-S（1-σ）]+0.5*0=0.5*[ K-S（1-σ）]。我們也可以通過認購與認沽期權的平價關系式C-P≈S-K去得到這個結果。C-P≈S-K，把C=0.5*[S*(1+σ)-K]代入，P=0.5*[S*(1+σ)-K]+K-S=0.5K-0.5S+0.5*S*σ=0.5*[ K-S（1-σ）]。?在簡單期權定價模型中，平值認沽期權的價格P=0.5*S*σ與平值認購期權價格C相等。

對于深度實值認沽期權，即使股價末態(tài)波動到+1X處，也會有行權收益。故P=0.5*[ K-S（1-σ）]+0.5*[ K-S（1+σ）]=K-S?。這與深度實值認購期權的價格C=S-K是反向對稱的。

對于深度虛值認沽期權，不論末態(tài)是-1X還是+1X處，都不能行權，故P=0.5*0+0.5*0=0。深度虛值期權的理論價格都是0，不論是認購還是認沽，深度虛值期權幾乎都到期清零。所以，一般不能買入深度虛值期權，雖然實際價格看上去是那么“便宜”。比如虛一是0.05元，而深度虛三是0.0100元。