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2999年幼升小（全國(guó)小學(xué)招生統(tǒng)一考試）真題

2023-08-30 11:21 作者:Barry_吳 0人讀過(guò) | 我要投稿

題目

1. 已知 $%E2%8A%99A%3A(x-x_1)%5E2%2B(y-y_1)%5E2%3Dr_1%5E2$ ， $%E2%8A%99B%3A(x-x_2)%5E2%2B(y-y_2)%5E2%3Dr_2%5E2$ ， $%E2%8A%99C%3A(x-x_3)%5E2%2B(y-y_3)%5E2%3Dr_3%5E2$ 。用解析法求三個(gè)圓的公共外切圓，不考慮特殊情況。若結(jié)果是復(fù)雜或冗長(zhǎng)的，允許使用換元法表示。（40分）

2. 選擇一種你喜歡的編程語(yǔ)言驗(yàn)證第一題中所推出的結(jié)論。在整個(gè)考試過(guò)程中都允許進(jìn)行程序?qū)嶒?yàn)。（40分）

3. 如要用上述結(jié)論求過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)的圓，該如何修改已知條件？（2分）

4.?如要用上述結(jié)論求三個(gè)圓的內(nèi)切圓，該如何修已知改條件？（3分）

5. 上述問題中都由三個(gè)約束條件求得一個(gè)圓。若三個(gè)條件不全是內(nèi)切、外切和過(guò)定點(diǎn)，而是這三種條件的組合，該如何修改已知條件，使上述結(jié)論仍可用于求圓？（5分）

6. 在第五題中，滿足條件的圓何時(shí)不唯一，此時(shí)怎么表示出所有的圓？（10分）

參考答案

1.設(shè)它們的公共外切圓的圓心為(x,y)，半徑為r，則原問題可表示為：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D(x-x_1)%5E2%2B(y-y_1)%5E2%3D(r%2Br_1)%5E2%5C%5C%0A%0A(x-x_2)%5E2%2B(y-y_2)%5E2%3D(r%2Br_2)%5E2%5C%5C%0A%0A(x-x_3)%5E2%2B(y-y_3)%5E2%3D(r%2Br_3)%5E2%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

用（1）式減（2）式，（2）式減（3）式得：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D-2x(x_1-x_2)%2Bx_1%5E2-x_2%5E2-2y(y_1-y_2)%2By_1%5E2-y_2%5E2%3D2r(r_1-r_2)%2Br_1%5E2-r_2%5E2%5C%5C%0A%0A-2x(x_2-x_3)%2Bx_2%5E2-x_3%5E2-2y(y_2-y_3)%2By_2%5E2-y_3%5E2%3D2r(r_2-r_3)%2Br_2%5E2-r_3%5E2%5C%5C%0A%0A(x-x_3)%5E2%2B(y-y_3)%5E2%3D(r%2Br_3)%5E2%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

換元并化簡(jiǎn)前兩式得：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%0Aa_1%3D2(x_1-x_2)%2Cb_1%3D2(y_1-y_2)%2Cc_1%3D2(r_1-r_2)%2Cd_1%3Dx_1%5E2-x_2%5E2%2By_1%5E2-y_2%5E2-r_1%5E2%2Br_2%5E2%5C%5C%0A%0Aa_2%3D2(x_2-x_3)%2Cb_2%3D2(y_2-y_3)%2Cc_2%3D2(r_2-r_3)%2Cd_2%3Dx_2%5E2-x_3%5E2%2By_2%5E2-y_3%5E2-r_2%5E2%2Br_3%5E2%5C%5C%0A%0AA_1%3D%5Cfrac%7Bb_1c_2-b_2c_1%7D%7Ba_1b_2-a_2b_1%7D%2CB_1%3D%5Cfrac%7Bb_2d_1-b_1d_2%7D%7Ba_1b_2-a_2b_1%7D%2CA_2%3D%5Cfrac%7Ba_2c_1-a_1c_2%7D%7Ba_1b_2-a_2b_1%7D%2CB_2%3D%5Cfrac%7Ba_1d_2-a_2d_1%7D%7Ba_1b_2-a_2b_1%7D%5C%5C%0A%0Ax%3DA_1r%2BB_1%5C%5C%0A%0Ay%3DA_2r%2BB_2%5C%5C%0A%0A(x-x_3)%5E2%2B(y-y_3)%5E2%3D(r%2Br_3)%5E2%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

最后一式可看做以r為變量的一元二次方程，直接套用求根公式可得答案為：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%0Aa_1%3D2(x_1-x_2)%2Cb_1%3D2(y_1-y_2)%2Cc_1%3D2(r_1-r_2)%2Cd_1%3Dx_1%5E2-x_2%5E2%2By_1%5E2-y_2%5E2-r_1%5E2%2Br_2%5E2%5C%5C%0A%0Aa_2%3D2(x_2-x_3)%2Cb_2%3D2(y_2-y_3)%2Cc_2%3D2(r_2-r_3)%2Cd_2%3Dx_2%5E2-x_3%5E2%2By_2%5E2-y_3%5E2-r_2%5E2%2Br_3%5E2%5C%5C%0A%0Ad%3Da_1b_2-a_2b_1%5C%5C%0A%0AA_1%3D%5Cfrac1d(b_1c_2-b_2c_1)%2CB_1%3D%5Cfrac1d(b_2d_1-b_1d_2)%2CA_2%3D%5Cfrac1d(a_2c_1-a_1c_2)%2CB_2%3D%5Cfrac1d(a_1d_2-a_2d_1)%5C%5C%0A%0AC_1%3DB_1-x_3%2CC_2%3DB_2-y_3%5C%5C%0A%0AA%3DA_1%5E2%2BA_2%5E2-1%2CB%3D2(A_1C_1%2BA_2C_2-r_3)%2CC%3DC_1%5E2%2BC_2%5E2-r_3%5E2%5C%5C%0A%0Ar%3D%5Cfrac%7B-B-%5Csqrt%7BB%5E2-4AC%7D%7D%7B2A%7D%2Cx%3DA_1r%2BB_1%2Cy%3DA_2r%2BB_2%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

求根公式中√Δ的符號(hào)由第二題的實(shí)驗(yàn)確定，它恒為負(fù)。

2. 選用HTML語(yǔ)言，代碼如下，它可直接用瀏覽器運(yùn)行。

3. 將三個(gè)已知半徑都設(shè)成0。

4.?將三個(gè)已知半徑都變號(hào)。

5. 外切條件對(duì)應(yīng)的半徑不變，內(nèi)切條件對(duì)應(yīng)的半徑變號(hào)，過(guò)定點(diǎn)條件對(duì)應(yīng)的半徑設(shè)成0。

6. 第一題的最后一步中，由求根公式可得其主解 $r%3D%5Cfrac%7B-B-%5Csqrt%7BB%5E2-4AC%7D%7D%7B2A%7D$ 。由實(shí)驗(yàn)可得，若其副解 $r%3D%5Cfrac%7B-B%2B%5Csqrt%7BB%5E2-4AC%7D%7D%7B2A%7D$ 也為正實(shí)數(shù)，則圓的主解和副解同時(shí)成立，故圓有兩個(gè)解。此時(shí)，圓的三個(gè)約束條件不是同一類型（內(nèi)切/外切/過(guò)定點(diǎn)），且三個(gè)已知圓的圓心近似在一條直線上，如下圖所示。