我們在Ep21聊了“實(shí)數(shù)完備性”的第一個定理——“確界原理”：非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界。

我們在Ep49介紹了“實(shí)數(shù)完備性”的第二個定理——“單調(diào)有界原理”：單調(diào)有界數(shù)列必收斂。

我們在Ep61介紹了“實(shí)數(shù)完備性”的第三個定理——“閉區(qū)間套定理”：

1. 閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時——

則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點(diǎn)/一個數(shù)。

今天開始介紹“實(shí)數(shù)完備性”的第四個定理——“柯西準(zhǔn)則”。

39收斂原理

“柯西準(zhǔn)則”又稱“柯西收斂原理”，是一個數(shù)列極限存在的充要條件——

條件：對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N時，有|xn-xn'|<ε；

結(jié)論：數(shù)列{xn}有極限x，即對于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當(dāng)n>N'時，有|xn-x|<ε'。

但凡充要條件，必然證明分為必要性和充分性兩部分——

a.必要性：用數(shù)列極限的定義證明即可——

已知：數(shù)列{xn}有極限x，即對于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當(dāng)n>N'時，有|xn-x|<ε'；

求證：對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N時，有|xn-xn'|<ε。

分析：要證明，|xn-xn'|<ε，即-ε<xn'-xn<ε，而對于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當(dāng)n>N'且n'>N'，都有|xn-x|<ε'，|xn'-x|<ε'，即x-ε'<xn<x+ε'，x-ε'<xn'<x+ε'，-2ε'<xn'-xn<2ε'，所以，只要取ε'=ε/2，N=N'即可使目標(biāo)不等式成立。

證明：

1. 對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N，都有|xn-x|<ε/2，|xn'-x|<ε/2，即x-ε/2<xn<x+ε/2，x-ε/2<xn'<x+ε/2；

2. 由1得，-ε<xn'-xn<ε，|xn-xn'|<ε；

3. 綜合1,2，對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N時，有|xn-xn'|<ε，證畢。

b.充分性

已知：對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N時，有|xn-xn'|<ε；

求證：數(shù)列{xn}有極限x，即對于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當(dāng)n>N'時，有|xn-x|<ε'。

工具：實(shí)數(shù)分劃（實(shí)數(shù)分劃與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)）。

分析：這里最關(guān)鍵的步驟是這個實(shí)數(shù)分劃的構(gòu)造——

“對于實(shí)數(shù)a，若xn從某一序號開始能滿足不等式：xn>a，則取這種實(shí)數(shù)a歸入下組A.取其余的（即不落在A內(nèi)的）一切實(shí)數(shù)a'歸入上組A'.”

這里要理解A和A'對應(yīng)的所有元素具有怎樣的規(guī)律，我們用列舉前幾項(xiàng)來總結(jié)規(guī)律（注：min{……}表示……中最小的數(shù)）——

n=1時，滿足條件的a1，必然同時滿足x1>a1，x2>a1，x3>a1，……xn>a1，……令X1=min{x1，x2，x3，……，xn，……}>a1，所有a1構(gòu)成集合A1；

n=2時，滿足條件的a2，必然同時滿足x2>a2，x3>a2，……xn>a2，……令X2=min{x2，x3，……，xn，……}>a2，所有a2構(gòu)成集合A2；

n=3時，滿足條件的a3，必然同時滿足x3>a3，……xn>a3，……令X3=min{x3，……，xn，……}>a3，所有a3構(gòu)成集合A3；

以此類推……

n=k時，滿足條件的ak，必然滿足xk>ak，……xn>ak，……令Xk=min{xk，……，xn，……}>ak，所有ak構(gòu)成集合Ak；

……

我們來分析這些集合之間的關(guān)系——

易得，X1<=X2<=X3<=……<=Xk<=Xk+1……——

當(dāng)xk>=Xk+1時，Xk=Xk+1；

當(dāng)xk<Xk+1時，Xk<Xk+1，且Xk=xk。

——Xn構(gòu)成一個單增數(shù)列{Xn}。

又——

1. 對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N時，有|xn-xn'|<ε，則xn<xn'+ε；

2. 對于任意自然數(shù)n，有Xn<=xn；

3. 結(jié)合1,2，對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N時，有Xn<=xn<xn'+ε；

4. 綜合1,2,3，取ε0>0，存在自然數(shù)N0，當(dāng)n>N0且n'>N0時，有Xn<=xn<xn'+ε0，即對于任意n>N0，{Xn}有上界p；

5. 又X1<=X2<=X3<=……<=XN0，對于任意n<=N0，{Xn}有上界q；

6. 結(jié)合4,5，{Xn}有上界max{p,q}；

7. {Xn}單增有上界，則{Xn}有極限x。

——所以充分性用單調(diào)有界定理肯定可證，我們回到書上，實(shí)數(shù)分劃的構(gòu)造（實(shí)數(shù)分劃構(gòu)造，檢驗(yàn)四個步驟：不漏、不重、不空、不亂）——

證明——

step1：構(gòu)造實(shí)數(shù)分劃——

1. 由分劃的構(gòu)造方式結(jié)合排中律直接可得，A和A'覆蓋所有實(shí)數(shù)，且沒有公共元素——不漏、不重；

2. 已知，對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N時，有|xn-xn'|<ε，即xn'-ε<xn<xn'+ε，則A中必然包含元素xn'-ε，非空，A'中必然包含xn'+ε，非空——不空；

3. 反證法：如果存在a0>a0'，其中a0為A的元素，a0'為A'的元素，由A和A'的構(gòu)造可知，存在n0，使得xn0>a0>a0'，則a0'也是A的元素，但是已知，A和A'沒有公共元素，導(dǎo)出矛盾，即對于任意a和a'，都有a<=a'，又A和A'沒有公共元素，等號恒不成立，即a<a'——不亂；

4. 由1,2,3可知，構(gòu)造了一個實(shí)數(shù)分劃，即得到唯一對應(yīng)的實(shí)數(shù)（該分劃的界數(shù)）x。

step2：證明這個數(shù)即為所求極限——

1. 對于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當(dāng)n>N'且n'>N'時，有|xn-xn'|<ε'，即xn-ε'<xn'<xn+ε'，則A中必然包含元素xn-ε'，A'中必然包含xn+ε'，即xn-ε'<x<xn+ε'，即|xn-x|<ε'；

2. 將1簡化：對于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當(dāng)n>N'時，有|xn-x|<ε'。，即數(shù)列{xn}有極限x，證畢。

下一期開始，聊一下這個定理其他三個定理的互推。