筆者經(jīng)常碰到一類科普視頻：“帶你弄清一維到十維宇宙”、“一維到十維空間都是什么”。這些視頻講的內(nèi)容都差不多，什么我們生活的宇宙是三維，加上時(shí)間是四維，再多一個(gè)時(shí)間維度，變成多重宇宙之后是五維……筆者對(duì)物理的了解不多，但知道的一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)，因此在看這些視頻的時(shí)候大受震撼——居然還可以這樣胡扯。這篇文章也就是用筆者的一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)來解釋一下，維數(shù)到底是個(gè)什么東西。

這篇文章會(huì)大致分成兩部分。第一部分解釋在筆者知道的數(shù)學(xué)里面，維度是個(gè)什么；第二部分簡(jiǎn)單解釋某些視頻特別感興趣的話題：宇宙的維數(shù)。因?yàn)楣P者不想碼字，所以省略了大部分術(shù)語的解釋，而只是給出在哪里可以找到這些術(shù)語的解釋。

一、論維度

“維度”，或“維數(shù)”，并不是一個(gè)出場(chǎng)次數(shù)很低的詞。數(shù)學(xué)和物理里面經(jīng)常會(huì)使用這個(gè)詞；在科幻作品里面，這個(gè)詞也很常見，總有那么幾部小說或者電影里會(huì)出現(xiàn)“跨維度旅行者”之類的東西；甚至有些人會(huì)講什么“思考的維度”、“一維的思考”之類聽起來很有深度的詞。根據(jù)第七版《現(xiàn)代漢語詞典》，維度是幾何學(xué)和空間理論的基本概念。這樣一來，談?wù)撌裁词恰熬S數(shù)”，必須先知道數(shù)學(xué)里面，什么是維數(shù)。

數(shù)學(xué)里面，對(duì)于“維數(shù)”并沒有統(tǒng)一的定義。對(duì)不同類型的空間，維數(shù)的定義不同；對(duì)于相同類型的空間，也可能有好幾種維數(shù)的定義。比如線性空間的維數(shù)[i]和流形[ii]的維數(shù)的定義不同，而對(duì)分形，上面定義了多種維數(shù)：Hausdorff維數(shù)、自相似維數(shù)、信息維、關(guān)聯(lián)維數(shù)等[iii]。使用“維數(shù)”一詞時(shí)，為了準(zhǔn)確，在提到維數(shù)時(shí)一般說，“某某的（某）維數(shù)”。例如，“球面作為代數(shù)簇的維數(shù)[iv]”、“球面作為光滑流形的維數(shù)”、“球面作為流形的拓?fù)渚S數(shù)[v]”。在不會(huì)導(dǎo)致歧義的情況下，才會(huì)直接說某某的維數(shù)。

這里就會(huì)有兩個(gè)問題：第一，這么多關(guān)于維數(shù)的不同定義，是怎么來的；第二，那些講“一到十維空間”“宇宙的維數(shù)”的視頻里面，“維數(shù)”到底是數(shù)學(xué)中眾多維數(shù)中的哪一個(gè)。筆者先試著來解釋第一個(gè)問題。筆者認(rèn)為，大多數(shù)時(shí)候，維數(shù)的定義相當(dāng)于用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)了人的某種直觀感受，并且很多時(shí)候，這種直觀感受來自我們對(duì)平面和自己所處的空間的觀察（對(duì)于同一個(gè)直觀感受，也許在某一類空間上可以很輕松地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)，但或許在另一類空間上就不能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)，因此對(duì)不同空間，“維數(shù)”的定義方式不一定相同）。

舉個(gè)例子，線性空間的維數(shù)可以看作這樣一個(gè)觀察：平面上的全部直線移動(dòng)可以由往“北”和往“東”這2個(gè)方向走多遠(yuǎn)（允許負(fù)數(shù)路程的移動(dòng)）唯一確定；而空間中的全部直線移動(dòng)可以由往“北”、往“東”和往“上”這3個(gè)方向走多遠(yuǎn)（允許負(fù)數(shù)路程的移動(dòng)）唯一確定。另一個(gè)例子是拓?fù)淇臻g的拓?fù)渚S數(shù)，盡管它的定義有些費(fèi)解，但也能歸結(jié)成這樣的觀察：如果用無限多個(gè)圓形紙片蓋住整個(gè)平面（允許重疊），那么一定有一個(gè)點(diǎn)被至少3(=2+1)個(gè)紙片蓋住，而如果用無限多個(gè)球體覆蓋住整個(gè)空間（允許重疊），那么一定有一個(gè)點(diǎn)被至少4(=3+1)個(gè)球體覆蓋。

來看第二個(gè)問題，一些視頻中，提到的“維數(shù)”究竟是哪個(gè)維數(shù)。事實(shí)上，在不指出視頻大致內(nèi)容的情況下，壓根沒辦法回答這個(gè)問題。例如有關(guān)分形的視頻會(huì)更喜歡介紹分形的自相似維數(shù)，而關(guān)于相對(duì)論的視頻使用的則是流形的維數(shù)。因此，筆者會(huì)在下一部分回答這一問題。

二、宇宙的維數(shù)、高維空間

我們接下來看看一些科普視頻特別感興趣的話題：宇宙的維數(shù)、高維空間是什么。

這里就要問問，某些視頻指的維數(shù)究竟是這么多種維數(shù)中的哪個(gè)。這就得看看有些視頻說了什么：一些問，宇宙是幾維的；另一些講，四維空間是三維空間加上時(shí)間，五維空間是兩條交叉的時(shí)間線。“宇宙”、“時(shí)間”這些東西，似乎是物理學(xué)關(guān)心的事情，于是我們大概能得出這樣的結(jié)論：他們談?wù)摰木S度就是物理學(xué)使用的維度。那么我們接著問：物理學(xué)里面說的維度是什么？它是數(shù)學(xué)里面的哪個(gè)維度？

要回答這個(gè)問題，或多或少得涉及到物理看待世界的方式。按照筆者簡(jiǎn)單的世界觀，物理可以分為理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)部分，研究理論的人在頭腦種形成對(duì)世界的觀念，并用數(shù)學(xué)的語言表述成物理理論，而做實(shí)驗(yàn)的人通過各種實(shí)際嘗試來觀察世界，并驗(yàn)證理論得出的結(jié)果。鑒于“維數(shù)”也是一個(gè)人創(chuàng)造的觀念，我們有理由認(rèn)為物理所說的維度就是物理理論中使用的維度，更具體來說，是物理中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)對(duì)象的維數(shù)。

那么研究宇宙的時(shí)候出現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)對(duì)象？它的維度又是多少？筆者對(duì)此了解不多，僅給出自己知道的幾個(gè)例子。首先是廣義相對(duì)論。相對(duì)論討論的空間是一個(gè)帶有一個(gè)偽黎曼度量四維流形。這里用到的數(shù)學(xué)對(duì)象是流形，維數(shù)的定義采用的就是流形的維數(shù)。不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣f，這個(gè)理論里面宇宙是4維的。另外筆者曾經(jīng)閱讀過有關(guān)弦論的簡(jiǎn)單介紹。弦論的基本模型是四維閔氏時(shí)空和一個(gè)六維黎曼流形的笛卡爾積[vi]。這里的維數(shù)是10，也是流形的維數(shù)。所以可以認(rèn)為，有些視頻中提到的維數(shù)就是流形的維數(shù)。

這樣，筆者或多或少能解釋宇宙是幾維的了。在牛頓的理論下，宇宙是三維的（如果將時(shí)間考慮進(jìn)來的話，是四維的）；在廣義相對(duì)論中，宇宙是四維的；在弦論中，宇宙是十維的。那要是問，現(xiàn)實(shí)中的宇宙是多少維的？不知道。因?yàn)楣P者不認(rèn)為物理理論完美地反映了現(xiàn)實(shí)。

來看另一個(gè)話題：高維空間是什么。因?yàn)橐呀?jīng)理清楚了，這里的維數(shù)是流形的維數(shù)，所以答案很簡(jiǎn)單，高維空間就是高維流形。大約是因?yàn)槲覀儫o法親眼見到四維空間的緣故，很多人對(duì)高維空間充滿了敬畏，甚至有人覺得高維空間是形而上學(xué)談?wù)摰膬?nèi)容，說什么“神其實(shí)就是高維生物”。不過仔細(xì)想想，高維空間的概念并沒有超出“人”的范疇。首先，“維數(shù)”這個(gè)概念是人的觀念，“高維空間”也是人的觀念。換言之，“高維空間”完全是人想出來的。既然人可以想出來，那又關(guān)神什么事呢？

另外，高維空間也不是什么稀罕玩意。舉個(gè)例子，假如有一個(gè)一絲不茍的氣象員，想要知道地球上每一點(diǎn)的溫度。這時(shí)候，對(duì)于氣象員來說，一個(gè)點(diǎn)需要用四個(gè)數(shù)據(jù)來描述：三個(gè)數(shù)據(jù)（比如經(jīng)、緯度和海拔）描述點(diǎn)的位置，一個(gè)描述點(diǎn)的溫度。那么對(duì)氣象員來說，他眼中的點(diǎn)其實(shí)是一個(gè)四維流形中的點(diǎn)（地球上所有點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)三維的子流形）。要是氣象員再認(rèn)真一些，想弄清楚每一個(gè)點(diǎn)處的風(fēng)向和風(fēng)力，那么他需要七個(gè)數(shù)來準(zhǔn)確描述一個(gè)點(diǎn)（三個(gè)數(shù)描述位置，一個(gè)描述溫度，三個(gè)描述風(fēng)向和大?。?。這時(shí)候，氣象員眼中的一個(gè)點(diǎn)就是七維空間中的點(diǎn)。

三、一點(diǎn)評(píng)論

據(jù)筆者對(duì)維度的理解，筆者并不認(rèn)為上面提到的一些視頻能被稱作科普。它們介紹的內(nèi)容不是科學(xué)，它們的目的也不是普及。它們講一些不知所云的東西，讓聽得云里霧里的觀眾誤以為是硬核的知識(shí)并點(diǎn)贊。這樣的行為，讓筆者很難不懷疑，所謂的科普不過是這些視頻的獲取流量的一個(gè)幌子罷了。

[i] 這里可以參考任何一本線性代數(shù)的教材，比如丘維聲編寫的《高等代數(shù)（上）》（2002年7月第2版）第80頁（筆者最初看的有關(guān)線性代數(shù)的書是復(fù)旦大學(xué)出版社2018年9月第3版的《高等代數(shù)學(xué)》，維數(shù)的定義在133頁）。

[ii] 流形以及流形的維數(shù)的定義可以參考任何一本微分流形的教材，如陳省身和陳維桓寫的《微分幾何講義》，2001年10月第二版。

[iii] 這里參考的是王東生、曹磊在1995年編寫的《混沌、分形及其應(yīng)用》，第140-143頁。

[iv] Miles Reid寫的Undergraduate Algebraic Geometry中在第三部分給出了古典代數(shù)幾何中代數(shù)簇的維數(shù)的定義。

[v] James R. Munkres寫的，熊金誠(chéng)、呂杰、譚楓翻譯的《拓?fù)鋵W(xué)》中“維數(shù)論導(dǎo)引”這一小節(jié)中給出了拓?fù)淇臻g的拓?fù)渚S數(shù)的定義。

[vi] 在這一篇：Cavalieri, R., & Miles, E. (2016). Does Physics Have Anything to Say About Hurwitz Numbers? In Riemann Surfaces and Algebraic Curves: A First Course in Hurwitz Theory的第172頁(doi:10.1017/CBO9781316569252.015)