注意，F(xiàn)astDPM ≠ DPM Fast。前者（即這篇筆記的對(duì)象）是 2106.00132，后者是?2206.00927

連續(xù)化

對(duì)于離散的擴(kuò)散過(guò)程，我們首先希望將其連續(xù)化。

首先，論文定義了兩個(gè)變量，擴(kuò)散步數(shù)??和噪音等級(jí)??（這兩個(gè)變量都是連續(xù)的），擴(kuò)散步數(shù)就是當(dāng)前擴(kuò)散所處的位置，噪音等級(jí)用來(lái)形容當(dāng)前圖片上高斯噪聲的強(qiáng)度。然后，我們?cè)O(shè)定兩個(gè)函數(shù) ?和??，這兩個(gè)函數(shù)可以對(duì)擴(kuò)散步數(shù) ?和"噪音等級(jí)" ?進(jìn)行互換:?.?

那這兩個(gè)函數(shù)具體是什么呢？

對(duì)于函數(shù) R 來(lái)說(shuō)，論文里首先將其定義為?. 順便一說(shuō)，. 并且，根據(jù)定義，我們知道?.

在這里，我們通過(guò)定義一個(gè)常數(shù)?（ 都是常數(shù)），然后將公式??進(jìn)行改寫(xiě)：

這里的 Gamma 函數(shù)相當(dāng)于是在離散和連續(xù)之間架起了一個(gè)橋梁。

然后，根據(jù)???的定義，我們得到了函數(shù) R 的具體形式：

至于?, 論文中是利用了一個(gè)二分法搜索來(lái)尋找符合下面條件的數(shù)值解。

如果沒(méi)看懂上面公式，沒(méi)關(guān)系，我也沒(méi)看懂，以上的公式在算法里面其實(shí)并不是那么的重要。

前向（加噪）與逆向（去噪）過(guò)程

首先是加噪過(guò)程，如果原 DDPM 一共包含了 ?步的話，那么我們選一個(gè)比 ?小的值 ?然后獲得一個(gè)新的序列，. 且?.

選取這個(gè)新的序列的方式有兩種，一種是我們預(yù)先指定一個(gè)方差的序列，然后針對(duì)序列里的每一個(gè)方差，我們根據(jù)公式推算出??的值，進(jìn)而求得 ?的值，這種方式論文里面稱作 VAR。另一種是我們指定一系列的擴(kuò)散時(shí)間點(diǎn) (即，從原來(lái)的擴(kuò)散步數(shù) 里面選出一個(gè)子集)，根據(jù)時(shí)間點(diǎn)推算出??的值，進(jìn)而求得??的值，這種方式論文里面稱作?STEP。

那么預(yù)先指定的這個(gè)序列如何獲得呢，論文里面給出了兩種比較靠譜的策略，一種是 Linear 策略，一種是 Quadratic?策略. 對(duì)于 VAR 來(lái)說(shuō)，

對(duì)于 STEP 來(lái)說(shuō)，

上面這些符號(hào)的意思，不用太去深究。個(gè)人的第六感認(rèn)為，其實(shí)論文里面重要的是這兩種策略，把離散的過(guò)程變成連續(xù)的過(guò)程并不是什么特別稀奇的事情。但是如何選取序列，讓生成的圖像不過(guò)于劣化，是比較重要的地方。

然后是去噪過(guò)程，論文里面也給出了兩種方法，一種基于 DDPM，一種基于 DDIM. 但是這里因?yàn)橹挥泄?，沒(méi)有什么特別的地方，就略過(guò)了。

完。