第1篇《一個(gè)小P值就能幫你解決客觀專業(yè)選擇供應(yīng)商的大問題》講到質(zhì)管部采用雙樣本t檢驗(yàn)分析兩家供應(yīng)商所供編織袋的拉力均值是否存在差異，一個(gè)P值就能解決客觀專業(yè)選擇供應(yīng)商的問題。

第2篇《一個(gè)小P值就能幫你解決客觀專業(yè)選擇供應(yīng)商的大問題（續(xù)）》以簡單的邏輯講解了進(jìn)行雙樣本t檢驗(yàn)之前為何要進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)和等方差試驗(yàn)，以及怎么判斷雙樣本t檢驗(yàn)得出的結(jié)論。提及3種對(duì)兩總體均值差異的區(qū)間估計(jì)的情況都是兩總體服從正態(tài)分布的情況。

三種區(qū)間估計(jì)都是兩總體服從正態(tài)分布的情況，既然正態(tài)分布這么重要，本篇開始以實(shí)例+圖形的形式為您趣味講解正態(tài)分布。

PS：縱觀正態(tài)分布在整個(gè)六西格瑪分析階段所占據(jù)的地位，絕對(duì)是值得濃墨重彩的，對(duì)正態(tài)分布的深度理解有助于我們?nèi)蘸罄斫鈳讉€(gè)σ，長期能力和短期能力，漂移，假設(shè)檢驗(yàn)，拒絕域，中心極限定理等等知識(shí)，后續(xù)將一一呈文。

既然想弄清楚正態(tài)分布這件事，那我們就學(xué)學(xué)瑜伽老師放松放松，耳畔仿佛傳來林志玲綿柔悅耳的聲音“放松放松，放得很松很松”，來個(gè)深呼吸，以愉悅的心情進(jìn)入狀態(tài)。

先回顧一下上一篇《一個(gè)小P值就能幫你解決客觀專業(yè)選擇供應(yīng)商的大問題（續(xù)）》說到關(guān)于對(duì)兩總體均值差異的區(qū)間估計(jì)通常有3種情況：

①兩個(gè)總體均服從正態(tài)分布，且兩個(gè)總體的方差都已知；

②兩個(gè)總體均服從正態(tài)分布，且兩個(gè)總體的方差相等但均未知；

③兩個(gè)總體均服從正態(tài)分布，兩個(gè)總體的方差不相等且均未知的情況。

小潘從邏輯上完全明白了怎樣用雙樣本t檢驗(yàn)并以一個(gè)P值就解決了客觀專業(yè)選擇供應(yīng)商的問題，從邏輯上清楚了為什么進(jìn)行雙樣本t檢驗(yàn)之前要進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)和等方差試驗(yàn)，領(lǐng)略到了P值在正態(tài)性檢驗(yàn)、等方差試驗(yàn)和雙樣本t檢驗(yàn)中的威力，清楚了怎么理解置信區(qū)間中的數(shù)據(jù)，但是還有一點(diǎn)不理解：為什么講來講去，3種情況都必須是兩總體均服從正態(tài)分布的情況，方差還有已知未知相等不相等的情況，為何就沒有不服從正態(tài)分布的情況呢？拿非正態(tài)分布的數(shù)據(jù)進(jìn)行雙樣本t檢驗(yàn)，也能出結(jié)果呀。如果做正態(tài)性檢驗(yàn)的時(shí)候，數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布會(huì)怎樣？

小潘找來了好幾本有關(guān)正態(tài)分布的書，可是越看越發(fā)懵圈，都說數(shù)學(xué)是最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⑦壿嬓宰顝?qiáng)的學(xué)科，好歹正態(tài)分布是4個(gè)漢字，從字面理解再看看“中間高兩端低左右對(duì)稱的鐘型分布”圖形，本來都幾乎快要參悟到了，好多書一開篇就來個(gè)正態(tài)分布的密度函數(shù)：

小潘心想：太討厭了啦，哪怕x=1，又是e，又是π的，還來個(gè)σ和μ，誰算得出來喲，真搞不明白算不出來的公式寫出來干嘛？這一堆符號(hào)不是來給我一個(gè)入職至今工作100天的下馬威的吧，簡直比那個(gè)早上把我從美夢(mèng)中驚醒的鬧鐘還討厭。

抱怨了一通，小潘舒了一口氣，心情舒暢了許多。想到之前質(zhì)量主管小王講解雙樣本t以后，本來復(fù)雜的雙樣本t就變得簡單。是的，我堂堂一個(gè)大學(xué)生，看個(gè)P值誰不會(huì)呀。可現(xiàn)在這么復(fù)雜的密度函數(shù)跟我們進(jìn)行供應(yīng)商分析又有什么關(guān)系呢？好期待能看到一篇非數(shù)學(xué)非統(tǒng)計(jì)專業(yè)能看得懂的關(guān)于正態(tài)分布的推文。

懷揣著期許，小潘又來請(qǐng)教完成了張馳咨詢黑帶培訓(xùn)的質(zhì)量主管王一君。

小潘這次一改以前學(xué)梁經(jīng)理直呼小王的稱呼，尊稱道：王工，您能不能幫我點(diǎn)撥一下正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識(shí)，我看了好幾本書了，好像懂了，一會(huì)又懵了，本來看例題好像懂了開始查正態(tài)分布表，有些書寫隨機(jī)變量x，有些書寫隨機(jī)變量Z，有些寫Ф（x），有些寫f(x)，有些寫a，有些寫Ua，這么多符號(hào)，又把我弄糊涂了。

質(zhì)量主管王一君微微一笑，安慰道：不要緊，我每天給你講幾個(gè)正態(tài)分布相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，分幾次舉例講清楚。

小王突然走在窗臺(tái)前仰望天空，充滿詩意的說：正態(tài)分布有如一個(gè)預(yù)言家，讓許多看似紛亂的數(shù)據(jù)變得有序，不僅有序，還能被預(yù)測。

講完走回到電腦桌前，打開電腦，比劃了一通以后指著2張圖說：不信你看，你相信下面2張圖是出自同一組數(shù)據(jù)嗎？第二張圖中的紅色曲線就是正態(tài)分布的概率密度曲線。

小王一句話提起了小潘莫大的興趣。確實(shí)，光看這兩張圖，如果說是同一組數(shù)據(jù)的話，初步的感覺確實(shí)是正態(tài)分布把看似紛亂的第一張圖變得整齊劃一。一直以為數(shù)學(xué)是索然無味的，沒想到經(jīng)小王這么一點(diǎn)撥，發(fā)現(xiàn)了些許數(shù)學(xué)之美。

講正態(tài)分布的書很多很多，基礎(chǔ)知識(shí)就不用贅述了，小王依然試圖以邏輯+簡單實(shí)例+圖形，用他自己的理解方式來給小潘解惑。

首先，為什么稱之為“正態(tài)分布”。

從字面簡單的理解就是有異于“變態(tài)”“偏態(tài)”“異?！钡恼?shù)值的正常型態(tài)的分布。（在后續(xù)講樣本代表性對(duì)均值和方差的直接影響的時(shí)候解釋“異?！睌?shù)據(jù)。）

我們?nèi)粘Ｋ姷暮芏嘧匀滑F(xiàn)象，例如我們上兩篇推文分析的拉力，衣食住行中的衣服碼數(shù)，人的飯量，酒店價(jià)格，住客人數(shù)，成年人的鞋碼，身高，體重，考試成績，收入，各種各樣的誤差，上班到達(dá)公司時(shí)間，路程時(shí)間，系統(tǒng)服務(wù)時(shí)間，長度，直徑等等，這些連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)值分布正常都會(huì)在平均值附近特別密集的出現(xiàn)，而兩端較稀疏，這種分布情況就是正態(tài)分布。

小王說：你的攔路虎又是e，又是π的，還來個(gè)σ和μ，咱們先不管這些符號(hào)。瞧瞧下圖這條鮮紅色的優(yōu)美的“中間高兩端低左右對(duì)稱的鐘型分布”曲線，你猜猜這是什么數(shù)據(jù)？

小潘一邊問：什么數(shù)據(jù)？一邊看圖，標(biāo)題是“小潘下廠用時(shí)的運(yùn)行圖”，再看看第二張圖“小潘下廠用時(shí)的直方圖”，小潘一陣驚訝，又瞄了一眼直方圖的樣本數(shù)N=100，臉?biāo)⒌囊幌伦兊猛t。

到生產(chǎn)車間檢查實(shí)際生產(chǎn)是否符合工藝情況是質(zhì)管部的職責(zé)，這是小潘的日常工作。小潘故作鎮(zhèn)定，輕描淡寫地說：哦，我下廠檢查生產(chǎn)工藝的時(shí)間呀。對(duì)，我今天正好入職工作100天，沒想到您把今天也記錄下來了。

小王說：我們來統(tǒng)計(jì)你下廠檢查生產(chǎn)工藝用時(shí)51-61分鐘的概率。

先從笨方法開始，讓你有個(gè)直觀認(rèn)識(shí)。

看圖x取值在51-61分鐘的有5根柱子，高度對(duì)應(yīng)的y軸頻率分別是6，8，10，14，10，合計(jì)48，你工作了100天，5根柱子的占比為48/100=48%，即你工作100天中單日下廠時(shí)間在51-61分鐘的概率是0.48。

你有沒有發(fā)現(xiàn)從圖上我們大致可以直觀看出，紅色鐘型曲線幾乎涵蓋了所有柱子，本例中柱子高表示次數(shù)多占比大對(duì)應(yīng)的鐘型曲線的Y值也大，中間均值對(duì)應(yīng)的Y值達(dá)到峰值，柱子矮表示次數(shù)少占比小對(duì)應(yīng)的鐘型曲線的Y值也??；本例記錄數(shù)據(jù)100次，現(xiàn)在圖形上共有14根柱子，所有柱子的次數(shù)加起來應(yīng)該是多少？100次，所有柱子占比相加=100%。實(shí)際上每根柱子的占比就是鐘型曲線在柱子對(duì)應(yīng)的區(qū)域所涵蓋的面積，所有柱子占比相加=1，也就是說，鐘型曲線涵蓋的所有面積=1。我們說過，鐘型曲線就是概率密度曲線，那就是概率密度曲線下的總面積=1。

我們要預(yù)測一下你明天下廠檢查生產(chǎn)工藝用時(shí)51-61分鐘的概率。

當(dāng)你在這里上班的日子越來越多，可分析的數(shù)據(jù)也越來越多，數(shù)據(jù)越多，鐘型曲線越接近柱子，可以理解成千千萬萬根密密麻麻的柱子組成。假設(shè)我們就以這100天的數(shù)據(jù)來預(yù)測你今后下廠的時(shí)間。計(jì)算鐘型曲線下面相應(yīng)的區(qū)間（51，61）的面積，在數(shù)學(xué)上的表達(dá)就是51<X≤61的概率，在數(shù)學(xué)上的計(jì)算方法就是求密度函數(shù)在區(qū)間（51，61）的積分。概率的大小就是概率密度函數(shù)曲線下相應(yīng)區(qū)間的面積的大小。

如果你覺得書上寫區(qū)間（a，b）不好理解的話，就回想我們這個(gè)實(shí)例，這里a=51，b=61，有具體例子具體數(shù)據(jù)自然就會(huì)比較有代入感，如果正好是你日常熟悉的事物，想想你每天下廠的時(shí)間，再看看圖形，大概概率都心中有數(shù)了。

下廠時(shí)間x是連續(xù)型隨機(jī)變量，要估算的數(shù)據(jù)可以是x軸上的任意區(qū)間數(shù)值，x取值不一定是整數(shù)，概率密度曲線下的區(qū)間面積就是概率，從圖上你能看出來你下廠時(shí)間在59.655.719即區(qū)間（53.931，65.369）的概率嗎？

小潘白了小王一眼，也不提筆，她知道小王既然說了先不要管這又是e又是π的概率密度函數(shù)，一定不需要再傻傻地計(jì)算，可能是要引出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布吧。小潘不確定她想的對(duì)不對(duì)，只好說：（51，61）是整數(shù)，5根柱子好理解也好算，概率0.48，好不容易有點(diǎn)明白了，你現(xiàn)在給我整個(gè)53.931，我暈。

小王呵呵一笑，答：概率是0.68，準(zhǔn)確的說0.6826。

小潘充滿好奇，突然若有所悟，急忙翻了翻書上標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表1.0對(duì)應(yīng)的，有點(diǎn)失望，是0.8413，不是0.68，又泄氣地追問：為什么？

未完待續(xù)，期許您在笑聲中了解本文關(guān)于正態(tài)分布的主要知識(shí)點(diǎn)：

①列舉了一些服從正態(tài)分布的連續(xù)型隨機(jī)變量；

②正態(tài)分布的概率密度曲線是一條中間高兩端低左右對(duì)稱的鐘型分布曲線；

③鐘型曲線在區(qū)間（a，b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域所涵蓋的面積就是X在a~b范圍出現(xiàn)的概率。該知識(shí)點(diǎn)有助于后續(xù)理解假設(shè)檢驗(yàn)中的拒絕域；

④概率密度曲線與X軸圍成的總面積=1。該知識(shí)點(diǎn)有助于后續(xù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表。

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