? ? ? ?上回我們介紹了拓?fù)鋵W(xué)中的布勞威爾不動點定理，今天我們來聊聊另一個著名的不動點定理——巴拿赫不動點定理。

? ? ? ? 巴拿赫(1892-1945)? 著名波蘭數(shù)學(xué)家，在泛函分析上有較大貢獻(xiàn)。他于1922年證明了此定理。

? ? ? ? ?在了解定理前，我們要先知道壓縮映射的概念：在集合X中有一個X到自身的映射f，使得對任意x,y∈X,都有d(f(x),f(y))<a·d(x,y)其中0＜a＜1，則f被稱作壓縮映射。(這里的d(x,y)指的是x到y(tǒng)的“距離”它是幾何中距離概念的推廣)

? ? ? ?(很明顯，壓縮映射就是使得任意兩點的“距離”縮小的映射。例如，將一個平面點集以原點為中心縮小1/2的映射。)?

? ? ? ?在壓縮映射中，必且僅有一個不動點，即必存在一點x0使得f(x0)＝x0，且這個點唯一，這就是巴拿赫不動點定理。

? ? ? ? 求巴拿赫不動點有一個簡易的算法，即將任意一點x在f中不斷迭代形成一個序列：x，f(x)，f(f(x)).........則這個序列的極限就是不動點x0。

? ? ? ? ?這個定理可以從另一角度證明地圖定理，但它對地圖的限制比布勞威爾定理多，這里說明從略。