注：一些課本上存在的，比較基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)（如坐標(biāo)變換的換算公式）將不會(huì)給出詳細(xì)推導(dǎo)過程，請(qǐng)先確保了解基礎(chǔ)知識(shí)后再進(jìn)行閱讀。

課本上出現(xiàn)的規(guī)則曲線（曲面）一般是位于原點(diǎn)，形式比較簡(jiǎn)潔，圖像比較對(duì)稱的樣子。

如橢圓，雙曲線，拋物線，橢圓拋物面，雙曲拋物面，單雙葉雙曲線等；其一般都是存在一元二次項(xiàng)，二元二次項(xiàng)，一元一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)中的兩種甚至是一種，不會(huì)出現(xiàn)同時(shí)有上述四種存在的情況。

但是，同時(shí)存在以上項(xiàng)的方程，其在坐標(biāo)系中依然表示二次曲線，即所有二次曲線（曲面）的一般形式為：

既然其表達(dá)的也是二次曲線，但是卻與我們見到的方程略有差異，本質(zhì)原因是多了二元二次項(xiàng)，一元一次項(xiàng)這兩個(gè)陌生的單項(xiàng)式；當(dāng)我們用軟件畫出具有二元二次項(xiàng)或一元一次項(xiàng)的曲面時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)具有這樣的特點(diǎn)：二元二次式的添加僅使曲面繞中心旋轉(zhuǎn)，一元一次式的添加僅使曲面平移。

據(jù)此，我們便可以通過再次移動(dòng)曲面或者坐標(biāo)系的方式，使其回歸標(biāo)準(zhǔn)方程形式以便使用；由于直接旋轉(zhuǎn)曲線的方式在直觀上需要對(duì)方程進(jìn)行相應(yīng)變換，相對(duì)來(lái)說較為復(fù)雜，這里只討論通過移動(dòng)坐標(biāo)系的方法使其回歸標(biāo)準(zhǔn)方程。

一：旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，消去二元二次項(xiàng)

在二元二次項(xiàng)中，不同的坐標(biāo)組合即記錄了該曲面在當(dāng)前組合的坐標(biāo)面上（如xy項(xiàng)對(duì)應(yīng)xOy面，yz項(xiàng)對(duì)應(yīng)yOz面）的旋轉(zhuǎn)情況；為了方便計(jì)算，我們先選擇一條軸作為旋轉(zhuǎn)軸，然后繞著該軸在與其垂直的平面上旋轉(zhuǎn)與其垂直的坐標(biāo)面（如以z為軸，在xOy面上旋轉(zhuǎn)x軸和y軸，此處只考慮x和y仍然正交的狀態(tài)，不考慮斜交），對(duì)于具有多個(gè)二元二次項(xiàng)的方程，可以旋轉(zhuǎn)多次以消去。

假設(shè)我們要消去xy項(xiàng)，那么以z軸為旋轉(zhuǎn)軸，把x和y同時(shí)旋轉(zhuǎn)α度，則旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系x‘y’z‘與原坐標(biāo)系xyz滿足如下方程組：

該方程組的推導(dǎo)過程在課本中均有涉及，大家可以根據(jù)所學(xué)知識(shí)自己推導(dǎo)，這里不過多闡述。將此方程組帶入曲面方程，目的是將方程中的舊坐標(biāo)替換成新坐標(biāo)以完成坐標(biāo)系的變換，即：

可以看出，在方程中僅有旋轉(zhuǎn)角度α未知，因此我們只需要找到合適的α使曲面方程在新坐標(biāo)系中使得xy項(xiàng)的系數(shù)為0即可。

現(xiàn)在我們不需要關(guān)注這個(gè)冗長(zhǎng)的方程的全部，只需要觀察一下，找出其中二元二次項(xiàng)x‘y’的單項(xiàng)式即可，其中包括：

以a為系數(shù)展開的

以b為系數(shù)展開的

以c為系數(shù)展開的

此處如果感覺有些跳躍可以去原方程展開，總之x‘y'的系數(shù)便是以上三個(gè)單項(xiàng)式相加：

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)以上三個(gè)系數(shù)可以通過二倍角公式化簡(jiǎn)，得：

令系數(shù)為0，可以得到一個(gè)非常簡(jiǎn)潔三角的方程，其中只有α為未知數(shù)：

先不考慮余弦項(xiàng)為0的情況，兩邊同時(shí)除以余弦項(xiàng)，方程變?yōu)椋?/p>

解得：

由此可知，當(dāng)α為上述角度時(shí)，x’y‘的系數(shù)為0，即在新坐標(biāo)系下該曲面在xOy面上為無(wú)旋轉(zhuǎn)的標(biāo)準(zhǔn)形式；特別情況，如果a=b，則分式變?yōu)闊o(wú)窮大（c不為0時(shí)，c=0時(shí)無(wú)意義），但是由于正切的特點(diǎn)，易知反正切的值就為90度，此種情況剛好對(duì)應(yīng)余弦項(xiàng)為0的結(jié)果。

同樣，若存在其他二元二次項(xiàng)，按照此方法依次旋轉(zhuǎn)另外兩個(gè)面消去即可，而后將解得的新坐標(biāo)系代入原方程即可得到變換后的方程。

二、平移坐標(biāo)系，消去一元一次項(xiàng)

在一元一次項(xiàng)中，記錄了該曲面在當(dāng)前坐標(biāo)的軸上的平移情況，此處提供兩種方法來(lái)消去，一種是通過配方法直接看出曲面的中心，從而在中心處建立新的坐標(biāo)系原點(diǎn)；另一種則是根據(jù)坐標(biāo)系平移的定義來(lái)解三元一次方程組得到平移量而確定平移后曲面方程。

1.配方法

無(wú)二元二次項(xiàng)的曲面方程為：

將三個(gè)變量分別配成完全平方，得：

無(wú)論是否有變量缺失一次項(xiàng)或者二次項(xiàng)，這都是一個(gè)曲面平移后的標(biāo)準(zhǔn)方程，只需要建立以配方后的二項(xiàng)二次式的第二項(xiàng)的相反數(shù)為原點(diǎn)，就可以得到最終的標(biāo)準(zhǔn)方程。

2.公式法

根據(jù)定義，平移后的坐標(biāo)系與平移前的坐標(biāo)系滿足如下方程組：

同樣將其代入原曲面方程，并且提取一次項(xiàng)，其中包括：

原二次項(xiàng)的展開式

原一次項(xiàng)

相加后，分別令x‘，y’，z‘的系數(shù)為0，可得：

最終解得：

其實(shí)這就是新坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，將其補(bǔ)充到變換后的坐標(biāo)系，然后將變換后的坐標(biāo)代入原方程，也可以得到變換后的標(biāo)準(zhǔn)方程。

通常情況下，我們的旋轉(zhuǎn)操作需要分多步進(jìn)行，因?yàn)橐淮涡赃M(jìn)行會(huì)導(dǎo)致需要解比較復(fù)雜的三角方程，不利于計(jì)算；而平移操作因?yàn)閮H僅涉及線性方程組所以可以通過一步進(jìn)行。多數(shù)課本中僅僅給出了變換后的結(jié)論，但是并無(wú)推導(dǎo)過程，所以此處做一個(gè)詳細(xì)的解釋；此方法同樣適用于平面坐標(biāo)系的變換，處理后的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)于我們研究計(jì)算來(lái)說十分方便，在新坐標(biāo)系中的圖形也可以通過逆變換的方式回到原坐標(biāo)系。