????????????????????????????????????????????????????? ? 定義

定義13.在一條曲線中，一組平行弦的中點(diǎn)軌跡叫做直徑(Diameter)

定義14.夾在直徑與曲線之間的半弦稱為此直徑的【縱標(biāo)線】

有些曲線的直徑可能并不是直線，比如圓

????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ?命題
命題13.拋物線外一點(diǎn)作關(guān)于拋物線的兩條切線，從焦點(diǎn)看拋物線外一點(diǎn)和兩切點(diǎn)，視角相等，而且有相似三角形

如圖，F(xiàn)為拋物線外一點(diǎn)，E為拋物線之焦點(diǎn)，F(xiàn)H、FG是拋物線的兩條切線，

就會有∠FEH =?∠FEG

而且△FEH?∽?△GEF

證明：

作拋物線頂點(diǎn)處切線，分別交兩條切線于點(diǎn)J、K，然后連結(jié)J、E；K、E

由于FH、FG為拋物線之切線，因此有

EJ⊥LG

EK⊥EH? ?（命題10）

所以點(diǎn)F、J、E、K是共圓的

可得

∠KFE =?∠KJE

而且注意到頂點(diǎn)處的切線垂直于軸，而EJ又垂直于LG

因此由射影定理可得

∠KJE =?∠JLE =?∠FGE

整理得 ∠KFE =?∠FGE

同理可得 ∠FHE =?∠GFE

于是可證 △FEH?∽?△GEF

然后就有?∠FEH =?∠FEG

證畢

命題14.拋物線的直徑平行于軸

如圖，Q為PO之中點(diǎn)，其運(yùn)動軌跡為一條直線

證明：

過O、P兩點(diǎn)作拋物線之切線

作一平行于PO的拋物線切線，與前兩條切線交于交于點(diǎn)R、S，切于點(diǎn)M，過M作平行于軸的直線，與切線RP、SO分別交于點(diǎn)N和點(diǎn)N' (圖中未標(biāo)出)，與弦PO交于Q

接著連結(jié)點(diǎn)M、P

然后過R作軸的平行線交MP于點(diǎn)T

先討論切線NP：

由于NQ是平行于拋物線的軸的，所以Q為弦PO的中點(diǎn)(命題12)

同理，點(diǎn)T是弦MP的中點(diǎn)

那么，RT為△NPM的中位線，R是線段NP的中點(diǎn)

已知 MR∥ PO，而且R是NP的中點(diǎn)

所以 NM = MQ

類似地，討論切線N'O時(shí)(點(diǎn)N'在圖中未標(biāo)出)，也能得出 N'M =?MQ

所以點(diǎn)N 點(diǎn)N' 是重合的

直線NM是確定的，我們已經(jīng)知道，點(diǎn)Q是弦PO的中點(diǎn)

所以，所有平行于弦PO的弦的中點(diǎn)，都在一條平行于軸的直線上

證畢

命題15.如圖，CD為直徑FD的縱標(biāo)線，CD延長交拋物線與點(diǎn)B，則有 EF = FD

證明：

過點(diǎn)F作拋物線之切線與點(diǎn)C處切線交于G，連結(jié)C、F

過G作關(guān)于軸的平行線交CF于H

具體證明跟命題14證法一樣，這里不多贅述

證畢

本文完

往期文章

拋物線的幾何性質(zhì)（一）

拋物線的幾何性質(zhì)（二）

拋物線的幾何性質(zhì)（三）

明天又要返校，下次更新可能是3-5天后了，會抽出時(shí)間繼續(xù)更下去的！

我在寫這篇文章的時(shí)候就在想命題15和命題14是不是該調(diào)換下順序，，，這樣更好看懂一些

這篇似乎比往期文章的文字量都要大，手機(jī)端閱讀可能會有點(diǎn)疲勞，希望有個(gè)不錯的觀看數(shù)吧……