每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

崔坤

中國(guó)青島即墨，266200，E-mail:cwkzq@126.com

摘要: 數(shù)學(xué)家劉建亞在《哥德巴赫猜想與潘承洞》中說(shuō)：“我們可以把這個(gè)問(wèn)題反過(guò)來(lái)思考, 已知奇數(shù)N可以表成三個(gè)素?cái)?shù)之和， 假如又能證明這三個(gè)素?cái)?shù)中有一個(gè)非常小，譬如說(shuō)第一個(gè)素?cái)?shù)可以總?cè)?， 那么我們也就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想。”， 直到2013年才有秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德賀歐夫格特徹底證明了三素?cái)?shù)定理。

關(guān)鍵詞:三素?cái)?shù)定理，奇素?cái)?shù)，加法交換律結(jié)合律

中圖分類號(hào)：O156 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

證明：

根據(jù)2013年秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德·賀歐夫格特已經(jīng)徹底地證明了的三素?cái)?shù)定理：

每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和，每個(gè)奇素?cái)?shù)都可以重復(fù)使用。

它用下列公式表示：Q是每個(gè)≥9的奇數(shù)，奇素?cái)?shù)：q1≥3，q2≥3，q3≥3，

則Q=q1+q2+q3

根據(jù)加法交換律結(jié)合律，不妨設(shè)：q1≥q2≥q3≥3，

則Q-3=q1+q2+q3-3 顯見(jiàn)：有且僅有q3=3時(shí)，Q-3=q1+q2，否則，奇數(shù)9，11，13都是三素?cái)?shù)定理的反例。

即每個(gè)大于等于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

推論Q=3+q1+q2，即每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。

我們運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法做如下證明：

給出首項(xiàng)為9，公差為2的等差數(shù)列：Qn=7+2n：{9,11,13,15,17,.....}

Q1= 9

Q2= 11

Q3= 13

Q4= 15

.......

Qn=7+2n=3+q1+q2,(其中奇素?cái)?shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Qn≥9，n為正整數(shù)）

數(shù)學(xué)歸納法：

第一步：當(dāng)n=1時(shí) ，Q1=9 時(shí) ，Q1=9=3+q1+q2=3+3+3成立

第二步：假設(shè) ：n=k時(shí)，Qk=3+qk1+qk2成立,（奇素?cái)?shù)：qk1≥3，qk2≥3）

第三步：當(dāng)n=k+1時(shí),Q（k+1）=Qk+2=3+qk1+qk2+2,

此時(shí)有且僅有2種情況：

A情況:qk1+2不為素?cái)?shù)或者qk2+2不為素?cái)?shù)時(shí)，Qk+2=Q（k+1）=5+qk1+qk2

即每個(gè)大于等于11的奇數(shù)都是5+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，

這也就同步證明了每個(gè)大于等于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

即與“每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和”是等價(jià)的

即Qk+2=3+qk1+qk2+2=5+qk1+qk2=3+qk3+qk4，（奇素?cái)?shù)：qk3≥3，qk4≥3）

B情況:

(1)若qk1+2為qk1的孿生素?cái)?shù)P,

則：Qk+2=3+P+qk2,即每個(gè)大于等于11的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

(2) 若qk2+2為qk2的孿生素?cái)?shù)P”,

則：Qk+2=3+P”+qk1，即每個(gè)大于等于11的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n命題均成立，即：每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

結(jié)論：每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，Q=3+q1+q2，（奇素?cái)?shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Q≥9）

參考文獻(xiàn)：

[1] Major Arcs for Goldbach's Theorem. Arxiv [Reference date 2013-12-18]

[2] Minor arcs for Goldbach's problem．Arxiv [Reference date 2013-12-18]

雙篩法的概念定義:

【雙篩法】的概念定義：

首先獲得＜N^1/2的素?cái)?shù)集合P，然后用集合P里的這些素?cái)?shù)元素進(jìn)行：

第一篩：從區(qū)間[1，N]上的N個(gè)自然數(shù)中，依次篩去素?cái)?shù) P的倍數(shù) nP；

第二篩：再?gòu)拈g[N，1]上的N個(gè)自然數(shù)中，依次篩去素?cái)?shù) P 的倍數(shù) nP ；

這樣得到了關(guān)于N/2對(duì)稱分布的剩余素?cái)?shù)的方法。

根據(jù)素?cái)?shù)定理，我們至少能得到：[N/(lnN)^2]個(gè)剩余素?cái)?shù)，

即至少有[N/(lnN)^2]個(gè)哥猜數(shù)，也就是r2(N)≥[N/(lnN)^2]個(gè)哥猜數(shù)。

r2(N)≥[N/(lnN)^2]的推導(dǎo)：

根據(jù)雙篩法及素?cái)?shù)定理可進(jìn)一步推得：r2（N）=（N/2)∏mr≥[ N/(lnN)^2 ]≥1

對(duì)于共軛互逆數(shù)列A、B:

A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝

B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝

顯然N=A+B

根據(jù)埃氏篩法獲得奇素?cái)?shù)集合{Pr}：｛1，3，5，…，Pr｝,Pr<√N(yùn)，

為了獲得偶數(shù)N的(1+1)表法數(shù)，按照雙篩法進(jìn)行分步操作：

第1步：將互逆數(shù)列用3雙篩后得到真實(shí)剩余比m1

第2步：將余下的互逆數(shù)列再用5雙篩后得到真實(shí)剩余比m2

第3步：將余下的互逆數(shù)列再用7雙篩后得到真實(shí)剩余比m3

…

依次類推到：第r步：將余下的互逆數(shù)列再用Pr雙篩后得到真實(shí)剩余比mr

這樣就完成了對(duì)偶數(shù)N的求雙篩法（1+1）表法數(shù)，

根據(jù)乘法原理有：r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr

即r2(N)=(N/2)∏mr

分析雙篩法r2(N)的下限值：

第一步:先對(duì)A數(shù)列篩選，根據(jù)素?cái)?shù)定理，

A中至少有[N/lnN ]≥1個(gè)奇素?cái)?shù)，即此時(shí)的共軛互逆數(shù)列AB中至少有[ N/lnN ]個(gè)奇素?cái)?shù)

第二步:再對(duì)B數(shù)列進(jìn)行篩選，篩子是相同的 1/lnN ，

則根據(jù)乘法原理由此推得共軛數(shù)列AB中至少有:r2(N)≥[N/(lnN)^2]≥1個(gè)奇素?cái)?shù)

這里是邏輯分析給出的：r2(N)≥[N/(lnN)^2]

【解析】

第一步：得出真值公式：r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr

第二步：對(duì)真值公式進(jìn)行邏輯分析得到：r2(N)≥[N/(lnN)^2]