感生電動勢

# 電動勢：其中K為非靜電力

# 感生電動勢：面積S不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度B改變

注意：上圖中的式子 $\vec{E}_{k}$ 不是動能，其為矢量，$\vec{E}_{k}$ 表示感生電場或渦旋電場

## 與靜電場的區(qū)別：靜電場為保守場

## 總電場 $\vec{E}$：靜電場 $\vec{E}_{0}$ + 渦旋電場 $\vec{E}_{k}

• 旋度與散度

# 例題：感生電動勢

## 例1：感生電場的分布

圓形磁場區(qū)域半徑為R，已知 $\frac{\partial B}{\partial t}$，求感生電場的分布

• 定性分析：

1. 分布特點(diǎn)：由磁感應(yīng)強(qiáng)度B（關(guān)于圓心）對稱性可知，感生電場分布亦為關(guān)于圓心對稱
2. 方向：由磁場的高斯定理（閉合曲面的磁通量為0），可知渦旋電場 $\vec{E}_{k}$沿切線方向

• 分析求解：由感生電動勢與渦旋電場關(guān)系的表達(dá)式，可得

## 例2：圓形磁場中的直導(dǎo)線

在圓心磁場中，已知ab為過圓心的導(dǎo)線，cd為導(dǎo)線在圓的弦上，磁通量隨時間的變化率也是已知的。求ab、cd的電勢

• 原感生電動勢表達(dá)式可變?yōu)榫€積分，由積分上下限可知，電勢應(yīng)為大于0的

** ab電勢

** cd電勢

## 例3：無限長條形磁場

兩條形間距為d，求感生電動勢

• 定性分析

** 位置分析：由旋度表達(dá)式（叉乘）可知渦旋電場與磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化量垂直，即渦旋電場在紙面平面內(nèi)

** 方向：由無窮對稱性（x軸的平行線），所以渦旋電場垂直于x軸

注意：渦旋電場不是一個朝下（單方向的）。由對稱性（關(guān)于x軸對稱）可知其分布不符合；或者使用環(huán)積分（環(huán)量）將為0，不符合

綜合可知，渦旋電場為左右相反方向的分布形式

• 分析求解

** 環(huán)路矩形在條形區(qū)域內(nèi)（x < d/2）

** 環(huán)路矩形在條形區(qū)域外（x > d/2）

# 例題：變化磁場的電路分析

思路：磁場電路轉(zhuǎn)化為等效電路分析

## 例1：圓形磁場

矩形鐵線OABC在圓形磁場內(nèi)，求AC的電勢差

• 求出感生電動勢

** 由上面`例1：感生電場的分布`可知渦旋電場與OA、OB垂直，則感生電動勢（點(diǎn)乘）為0；由對稱性（AB、CB關(guān)于OB對稱）可知AB與BC電動勢相同

• 等效電路

** 判斷電流方向：由楞次定律可知電流為逆時針方向

** 繪出電路圖

** 求解AC電勢（I * 2R）

結(jié)果為

電感

# 自感：在閉合回路中，當(dāng)電流發(fā)生改變時，自身產(chǎn)生電動勢抵抗電流變化的性質(zhì)

## 自感系數(shù) (=> new 電勢表達(dá)式)

注意：分子所指的是磁匝鏈數(shù)ψ（\Psi）

## 例題：自感系數(shù)L

### 例1：螺線管

在第5章：磁場分布的求解的例題中已經(jīng)求出——磁感應(yīng)他強(qiáng)度B=μnI，求自感系數(shù)L

• 求出磁通匝鏈數(shù)ψ與電感L

注意：雖然螺線管為有限長，但仍然認(rèn)為其為均勻磁場分布便于計(jì)算

### 例2：螺線環(huán)

已知內(nèi)半徑a，外半徑b，匝數(shù)N，可認(rèn)為橫截面積為矩形，厚度h，求自感系數(shù)L

思路：(第5章)磁感應(yīng)強(qiáng)度B -> （第5章）磁通量Φ -> 自感系數(shù)L

• 磁感應(yīng)強(qiáng)度B

** 定性判斷：當(dāng)電流 I 為螺旋向外時，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向?yàn)槟鏁r針方向

** 分析計(jì)算：由安培環(huán)路定理，可得（此時需將電流堪稱分立的電流 I 分析，以得到總穿過電流 $I_{all}$ ）

• 磁通量Φ

** 微元分析

積分計(jì)算

• 自感系數(shù)L

### 拓展

當(dāng)螺線管較小時，自感系數(shù)L

此時自感系數(shù)L，可得

可認(rèn)為，螺線管內(nèi)部為均勻磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

### 例3：同軸電纜

已知條件如下圖標(biāo)注所示，求自感系數(shù)L

思路：(第5章)磁感應(yīng)強(qiáng)度B -> （第5章）磁通量Φ -> 自感系數(shù)L

• 磁感應(yīng)強(qiáng)度B

由安培環(huán)路定理，得

（補(bǔ)充：易知當(dāng)環(huán)路半徑r < 內(nèi)徑R1 或者 環(huán)路半徑r > 外徑R2時，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B均為0）

• 磁通量Φ（取過圓心截面的一半）

• 自感系數(shù)L

注意：同軸電纜的匝數(shù)N為1

# 互感M

在閉合回路中，當(dāng)電流發(fā)生改變時，因感應(yīng)作用而引起另一閉合回路產(chǎn)生電動勢抵抗電流變化的性質(zhì)

• 傳遞鏈

## 互感系數(shù)M

• 互感系數(shù)相等：（up主略過證明：提示為使用輪換對稱性）

• 互感系數(shù)可正可負(fù)（電流行進(jìn)方向：同向?yàn)檎?，異向?yàn)樨?fù)）

• 耦合系數(shù)：描述互感線圈的位置關(guān)系

## 例題：互感系數(shù)M

### 例1：互感線圈

求線圈1對線圈2的磁通匝鏈數(shù)ψ與互感系數(shù)M

### 例2：電路中的互感

已知兩線圈的電感分別為L1、L2，當(dāng)兩電感通入同向電流且恰好為正向耦合的互感系數(shù)為M。求當(dāng)兩電感接入到同一電路時，兩線圈的總自感系數(shù)L

• 串聯(lián)時

** 順串聯(lián)，即線圈電流同向行進(jìn)

線圈1對自身的自感電動勢 $E_{11}$、線圈1受到線圈2的互感電動勢 $E_{12}$，線圈2同理，則可得

得出總電動勢，進(jìn)而得出總電感L

** 逆串聯(lián)，即線圈電流異向行進(jìn)

相比于順串聯(lián)，互感變?yōu)橄喾?，即M = -M，則易得總電感L

• 并聯(lián)時

** 順并聯(lián)

注意：總電動勢E表達(dá)式的電流亦為總電流I

由并聯(lián)特性可知，支路的感應(yīng)電動勢相等，可得

可計(jì)算出：兩電流變化率比值

結(jié)合總電流表達(dá)式： I = I?+I?，進(jìn)而可求出兩電流變化率與總電流變化率的關(guān)系

最終可表示總電動勢，從而得出電感L

** 逆并聯(lián)

此時互感系數(shù)M = -M，結(jié)合串并聯(lián)求出總電勢表達(dá)式E(dI/dt)，可得總電感系數(shù)L

L = (L?L? - M2) / (L?+L?+2M)

# 電感在電路中的行為

## 回顧電容在電路中的行為

• 電容器的串并聯(lián)性質(zhì)
• 電路定理：電荷守恒（針對電路節(jié)點(diǎn)的電荷總量為0）；回路定理（在回路內(nèi)的電勢總和為0）
• 復(fù)雜電容器的分解 => 串并聯(lián)電容電路

# 例題

## 電感在電路中的符號判斷

說明：順著電流方向電勢降低，即為帶負(fù)號-的表達(dá)式

## 例1：RL電路（電阻-電感電路）

求電流 I 隨時間 t 的表達(dá)式

### 充電電路

由回路定理（在回路內(nèi)的電勢總和為0），可得

進(jìn)而可得

### 電感放電電路

由回路定理（在回路內(nèi)的電勢總和為0），可得圖所示微分方程

求解電流 I ,可得

### 深化題：探討電路中燈泡的亮暗狀況

• 當(dāng)開關(guān)閉合

** 干路燈泡

1. 閉合時刻，在干路的燈泡稍暗，因電感在開關(guān)閉合時刻，可認(rèn)為其處于斷路。
2. 隨著電感的穩(wěn)定（相當(dāng)于一個逐漸變小為R的電阻），干路燈泡逐漸變亮至最亮

** 支路燈泡

剛開始達(dá)到最亮，隨著電感的穩(wěn)定（相當(dāng)于一個逐漸變小為R的電阻），因此并聯(lián)電路中的總電阻逐漸變小，分壓變小也逐漸暗淡至電感穩(wěn)定，并維持較亮的亮度

• 開關(guān)斷開

** 干路燈泡

亮度將直接暗淡下去

** 支路燈泡

電感開始時刻將維持原有大小的電流流經(jīng)支路，維持支路燈泡的較亮的亮度；隨著電感電能逐漸釋放，支路燈泡將逐漸暗淡直至完全不亮

• 電流函數(shù)圖像

a. 支路的 I-t 圖像(圖像錯誤)

b. 干路的 I-t 圖像

• 電感的能量

計(jì)算的結(jié)果

• 能量密度（up主并沒有將關(guān)于電感的）

回顧電容器的能量密度：1/2 * ε? E2

** 驗(yàn)證電感能量表達(dá)式

磁場總量能

在環(huán)形螺線管中的磁場能為

在串聯(lián)電感中

推導(dǎo)過程

位移電流

若將渦旋電場（有旋）與靜電場（無旋）計(jì)入電場范疇，則電場將不是一個無旋場

# 位移電流概念

• 前情提要

由安培環(huán)路定理，可得

• 問題的引出

原定義的安培環(huán)路定理不適用：邊界處于在電流中斷處（邊界位于電容內(nèi)部），其區(qū)域內(nèi)電流ΣI = 0；而在電路連續(xù)處且有值。

• 修正安培環(huán)路定理

思路：1. 擴(kuò)充電流定義；2. 擴(kuò)充磁場環(huán)量的范圍?？紤]擴(kuò)充磁場環(huán)量的范圍時，即考慮變化的電場的通量亦為環(huán)量的一部分，換言之變化的電場亦為一種磁場或者產(chǎn)生磁場[筆者個人的延伸補(bǔ)充]

由電流連續(xù)性方程與高斯定理，可得 => 衍生出 `位移電流密度`的概念

使用衍生式與衍生概念重新定義`安培環(huán)路定理`

進(jìn)而可得邊界處于在電流中斷處（邊界位于電容內(nèi)部）的安培環(huán)路定理應(yīng)為

• 完善后的安培環(huán)路定理

• 重新完善磁場的性質(zhì)

** 磁場旋度

# 例題：位移電流與安培環(huán)路定理

## 例1：圓形平行板

求磁場分布，即求磁感應(yīng)強(qiáng)度B

由安培環(huán)路定理可知，求解需要求出電流和場強(qiáng)的變化率

• 電流 I

注意：電流與電荷變化率的符號（為負(fù)號）：考慮物理意義可知電容 C 的電荷 q 在流失，因而取負(fù)號。

• 場強(qiáng)變化率

注意：此處場強(qiáng)變化率結(jié)果的負(fù)號（為負(fù)號）時由物理意義的，其為表示與電流 I 反向

• 磁感應(yīng)強(qiáng)度B

最終結(jié)果為

中檔題賞析

# 例題：中檔題

## 例1：S型環(huán)繞而成的三個線圈

在均勻磁場B下，有個S型環(huán)繞而成的三線圈。其起點(diǎn)為M，在大線圈范圍內(nèi)逆時針方向?yàn)槠鹗挤较颍K點(diǎn)為N，其半徑分別為3R、2R、R，電阻率為ρ 在以勻角速度ω繞中軸線運(yùn)動，求MN電勢差 u 隨時間的關(guān)系

注意：三個線圈連接并不是都為連貫，其中3R線圈、R線圈為連貫的圓，而2R線圈由上下兩半組成，因而分析時需分開計(jì)算后求解

• 通過線圈的磁通量變小時，線圈電流方向

** 電動勢計(jì)算：（使用公式：E = BS sin ωt）

沿著S形環(huán)繞軌跡計(jì)算電動勢E

** 求解總電阻 $R_{a}$ 和電流 I

** 求解電勢差 $u_{MN}$

思路：起點(diǎn)M、R3、$u_{MN}$、終點(diǎn)N構(gòu)成回路，使用回路定理即可求出 $u_{MN}$

注意符號原則：電勢降低為-，電勢抬升為+

## 例2：在導(dǎo)軌上的兩可活動導(dǎo)線

求解問題

• 右邊導(dǎo)線的速度 v(t)
• 通過的電量q
• 兩活動導(dǎo)線的Δx

### 求解v(t)

分析受力并結(jié)合質(zhì)心運(yùn)動定理

由質(zhì)心運(yùn)動定理，得

力學(xué)微分方程的分析

力學(xué)微分方程

方程聯(lián)立，求解

### 通過的電量q

### 兩活動導(dǎo)線的Δx

## 例3：螺線環(huán)問題

已知平均周長l，匝數(shù)分別為N1、N2，橫截面積S

求解

• N1的自感系數(shù)L1
• 求互感系數(shù)M
• 當(dāng)N1的電流 I? -> -I?時，電流表的示數(shù)

1.求解：N1的自感系數(shù)L1、求互感系數(shù)M

2.當(dāng)N1的電流 I? -> -I?時，電流表的示數(shù)

使用互感的方法求

## 例4：電磁感應(yīng)加速器

使用渦旋電場作為加速粒子

證明：粒子穩(wěn)定做圓周運(yùn)動所需要滿足條件

證明

簡化可得