游戲開發(fā)中的矩陣

2022-02-28 19:35 作者:小小游戲開發(fā)程序員 0人讀過 | 我要投稿

矩陣很多同學沒有接觸過，所以感覺很難，很復雜，其實只要學過矩陣的同學都知道，矩陣運算并不難。今天我們給大家講講游戲開發(fā)中的矩陣的運算。

1:矩陣是什么?

矩陣是描述線性變換的一種數(shù)學工具,線性變換指的是使用一次函數(shù)從一個空間變換到另外一個空間。

例如在空間A中的一個2維向量（xa, ya）變換到空間B，使用一次線性函數(shù)變換后得(xb, yb)。

xb = A*xa + B*ya + C;

yb = M*xa + N*ya + D;

上述變換中，xb 是由xa, ya 經(jīng)過線性運算而得到得。如果xb = A*xa^2 + B*ya + C,這樣就不是線性變換了。

數(shù)學前輩們?yōu)榱嗣枋錾厦娴木€性變換，發(fā)明了矩陣,把上面的變換標記為:

上面的變換，(xa, ya)通過矩陣變換到(xb, yb),用矩陣是如何變換的呢？我們實際就是把(xa, ya)*矩陣 = (xb, yb)。

2: 向量與矩陣, 矩陣與矩陣的乘法;

向量與矩陣乘法:

按照上述的例子我們一起來計算一下，空間Va的向量(xa, ya), 變換到空間Vb的向量(xb, yb)

(1): 擴展向量的維度為3維, (xa, ya)變成了(xa, ya, 1)

(2): 計算(xa, ya, 1) * 矩陣

總結(jié)一下向量與矩陣的乘法規(guī)則:

新向量的第i個元素，等于原來向量的每個元素與第i列矩陣的每個對應數(shù)據(jù)相乘后相加。由這個規(guī)則，我們可以得到向量與矩陣相乘向量的維度必須和矩陣的行數(shù)一樣。

很多同學馬上就會有疑問了，矩陣既然最后還是要結(jié)合元素計算，我干嘛還要用矩陣呢？直接算不就可以么？接下來矩陣得第二個妙處就在于每個線性變化都對應一個矩陣，我們可以把多次線性變換疊加起來，這樣就可以減少運算的次數(shù)。比如我要把100個點，由V1空間，變換到v2空間，再變換到v3空間。V1到v2對應一個矩陣，v2到v3對應一個矩陣，我們可以把這兩個矩陣變換疊加起來變成一個矩陣。100個點，每個點計算一次矩陣乘法即可得到新的點，而不用每個點計算2次矩陣乘法得到新的點。

如何把多個矩陣對應的多次線性變換疊加起來呢？這個就是矩陣與矩陣的乘法。例如

根據(jù)上面的規(guī)律，新矩陣的對應第i行第j列元素，我們叫做元素ij。矩陣變化的疊加就是矩陣乘法，矩陣乘法的計算規(guī)則如下：

A矩陣*B矩陣=C矩陣, Cij = Ai0*Bj0 + Ai1*Bj1 + ….. ;即Cij為A的第i行與B的第j列的每項數(shù)據(jù)相乘后的和(即dot(Ai, Bj))。根據(jù)上面的規(guī)則，我們發(fā)現(xiàn)兩個矩陣要能相乘必須要滿足一個條件，就是左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù),否者兩個矩陣是無法相乘的。

3: 游戲開發(fā)中的縮放，旋轉(zhuǎn)平移矩陣;

游戲開發(fā)中常用的線性變換有縮放，平移, 旋轉(zhuǎn), 這個我們通常叫做transform。而這些變換疊加在一起，就是我們在游戲世界中擺放游戲物體，我們可以把每個物體的線性變換，疊加在一起，形成一個矩陣，然后我們再來做坐標變換。

先來看平移矩陣，我們以2D為例, 向量(x, y)平移變換到新的空間,平移就是把x, y都加上一個常量。那么平移變換矩陣為

縮放矩陣: 向量(x, y)通過縮放，到新的空間

我們疊加在一起運算一下, 先縮放還是先平移，得到的結(jié)果不一樣，先平移后縮放的結(jié)果是 (x, y, 1) 先平移dx, dy, 后縮放3倍，(3x+3*dx, 3y + 3*dy, 1), 先縮放后平移, 得到的結(jié)果是(3x+dx, 3y + dy, 1)。

我們反應到矩陣，先平移后縮放，平移矩陣*縮放矩陣，如下:

這個矩陣疊加向量(x, y, 1)得到 (3x+3*dx, 3y + 3*dy, 1)。

同理，如果是先縮放后平移，縮放矩陣*平移矩陣，如下:

, 這個矩陣疊加向量(x, y, 1) 得到(3x+dx, 3y+dy, 1)

同樣是兩個矩陣，乘法的位置不一樣，得到的結(jié)果可能不一樣。

4: 3D游戲中的旋轉(zhuǎn)矩陣，單位矩陣, 逆矩陣;

平移縮放，大家都好理解了，旋轉(zhuǎn)矩陣不那么直觀，特別是3D的。我們以大家熟悉的歐拉旋轉(zhuǎn)為例。

比如我們在3D里面先繞x軸旋轉(zhuǎn) a度，再繞y軸旋轉(zhuǎn)b度，再繞z軸旋轉(zhuǎn)c度。這個其實就是3個空間的變換，每次變換，都對應一個旋轉(zhuǎn)矩陣，然后我們按照順序把這三個矩陣疊加起來 Rx * Ry * Rz = R旋轉(zhuǎn)。根據(jù)我們上面的分析，矩陣的位置不一樣，得到的結(jié)果會不一樣，所以每個游戲引擎的歐拉角旋轉(zhuǎn)都會有一個固定的順序來計算, 最終就得到一個旋轉(zhuǎn)矩陣。