? 數(shù)學(xué)是一門具有魔力的學(xué)科，無論你是否擅長，在門外人的眼中數(shù)學(xué)就像是變魔術(shù)一樣具有神奇和不可思議的特性，而在專業(yè)領(lǐng)域人士面前數(shù)學(xué)是一幅精美的藝術(shù)品，那種美麗讓人陶醉……今天，我們將探討一種數(shù)學(xué)的常用證明方法——數(shù)學(xué)歸納法，他的神奇與美妙之處就在于他像多米諾骨牌一樣，一個接著一個，我們不知道到底有多少個骨牌，但是看著一個個骨牌的倒下，我們知道，遲早有一天，那個屹立在最后的骨牌也將會重復(fù)前面骨牌的命運而倒下；同樣，當(dāng)我們看到了第一個以及每個骨牌前必有倒下的骨牌時，我們也就知曉了該骨牌也難免于倒下。

? 首先要說明的是：1.在本質(zhì)上，第一與第二數(shù)學(xué)歸納法是一樣的，兩者可以互相證明。2.通常，我們使用第一數(shù)學(xué)歸納法較多一些，另外我們稱第二數(shù)學(xué)歸納法為強歸納法，因為其解決問題范圍更大。

第一數(shù)學(xué)歸納法

? 想象一下，你的面前是無窮無盡的多米諾骨牌，當(dāng)你摁倒第一個骨牌，我們也知道骨牌之間很小的間距導(dǎo)致了若這個骨牌倒下后，后面的那一個骨牌必倒，那我們就可以想象到，這些骨牌遲早有一天都會倒下。

1.使用形式：

①n＝1時，成立（ps：開頭不一定是1）

//第一個骨牌會倒下

②假設(shè)n＝k時成立，得到k的關(guān)系式

//如果第k的骨牌倒下

③n＝k+1時，利用上面k的關(guān)系式證明出此時依舊成立

//第k個骨牌后面的那一個骨牌也會倒下

證畢。

//所有骨牌都倒下

2.[反證法]利用最小數(shù)原理進(jìn)行證明其合理性：

①②③?？對于所有自然數(shù)n成立

假設(shè)并非所以的自然數(shù)n都成立，記所有不成立的n（所有不會倒的骨牌）構(gòu)成的集合為S。

由最小數(shù)原理，存在一個s0∈S，使得對任意的s∈S，都有s0≤s（存在一個最前面的不會倒的骨牌）。

由于n＝1成立，則s0≥2

因為s0－1?S，則s0－1成立（最前面的不倒骨牌前一個一定是倒下的骨牌）

令k＝s0－1命題成立，k+1＝s0命題不成立，這與③矛盾，假設(shè)不成立（倒下的骨牌后面是不倒的骨牌，這與②③中說的倒下的骨牌后一定也是倒下的骨牌矛盾?。?/p>

所以①②③可以推出所有自然數(shù)n成立

第二數(shù)學(xué)歸納法

? 再次來到多米諾骨牌，我們知道了第一塊會倒下，每一塊的前一塊也會倒下，那么所有的骨牌都會倒下嗎？“最后一塊”真的會倒下嗎？首先，我們先說明為何“最后一塊”會倒下。在數(shù)學(xué)歸納世界里，多米諾骨牌的數(shù)量是無窮的，即任意選擇一塊骨牌，總有骨牌在這個骨牌的后方，所以不存在“最后的骨牌”這一說。

1.使用形式：

①n＝0時，成立

//開頭的骨牌會倒下

②假設(shè)n＜k時成立

//如果k以及前面的骨牌倒下

③n＝k時成立

//那么k后面的一個骨牌也會倒下

證畢

//所有骨牌會倒下

2.[反證法]證明：①②③?對于所有自然數(shù)n成立

假設(shè)并非所有n都成立，記所以不成立的n構(gòu)成集合S。

由最小數(shù)原理，存在一個s0∈S，使得對任意的s∈S，都有s0≤s

設(shè)s'＜s0，所以s'?S（最前面的不倒骨牌前的所有骨牌一定是倒下的骨牌），即n＜s0＝k都成立，n＝s0＝k不成立，與②③矛盾，假設(shè)不成立。

所以①②③可以推出所有自然數(shù)n成立

peano公理

內(nèi)容：

1.0是自然數(shù)

2.每一個確定的數(shù) a 都具有確定的后繼數(shù) a'， a'也是自然數(shù)。（a'＝a+1）

3.0不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)。

4.不同的自然數(shù)有不同的后繼數(shù)，如果自然數(shù) b , c 的后繼數(shù)都是自然數(shù) a ，那么 b=c 。

5.假設(shè)自然數(shù) n 的命題 P(n) 而言，下面的(1)和(2)都成立:(1). P(0) 。(2).對于任意自然數(shù) k ， P(k) 成立，則 P(k′) 成立。

數(shù)學(xué)歸納法是立足于peano公理的歸納公理，正是有了皮亞諾才有了數(shù)學(xué)界的多米諾骨牌

如果說第一數(shù)學(xué)歸納法是上樓，由n1→n2→……，那么第二數(shù)學(xué)歸納法就像是下樓，先給定一個頂樓k+1，由nk+1→nk→……n1一層層下去。而這些所有的基礎(chǔ)就是peano公理。

ps：公理是公認(rèn)的，不存在證明