1.【知識】圓的定義

1.1 圓

圓是一種圖形，是一個軸對稱圖形。對稱軸為直徑所在直線。無數(shù)條

（人教版有時把半徑寫為R，本筆記均以r稱）

如圖24.1-3

得出圓上的點到圓的距離相等，都為r

1.2 共線

反過來，

如果有若干個點，它們到同一個點的距離相等，那么這若干個點它們在同一個圓上?！垂矆A。

我們可推出任何的矩形的四個頂點一定在同一個圓上。（連接對角線）

1.3 圓的確定

那么，怎么才能確定一個圓呢？

一個點肯定不行，兩個點也不行，三個點呢？

我們可以引出另一個定理。

不在同一直線上的三個點確定一個圓。

1.4 弦/弧

弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。

直徑為最長的弦

?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧

半圓為圓的一半

等圓/同圓

等圓：如果兩個圓可以重合，那么我們稱其為等圓，兩個圓的半徑相等，反之，如果兩個圓半徑相等，那么這兩個圓為等圓。

同圓：顧名思義，同一個圓。

等弧：在同圓或者等圓中能夠重合（長度相等）的弧稱為等弧。

2【知識】垂徑定理

在圓中任意找一條直徑，過圓上一點作垂線。

由OA=OA'，OT=OT知

Rt△AOT≌Rt△A'OT（HL）

∴AT=A'T

OT⊥AA'

A，A‘關(guān)于直徑對稱

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。（可以反推）

反推的結(jié)論：一條弦（不是直徑）的中點的垂線一定經(jīng)過圓心。垂線為直徑/對稱軸

習(xí)題如下。

3.【知識】圓中的弧，弦，角

3.1 圓心角/圓周角

圓心角：頂點在圓心上的角叫做圓心角

在同圓/等圓上，若兩個圓心角度數(shù)相等則對應(yīng)的弧長相等（通過旋轉(zhuǎn)證明）

反推得出

在同圓/等圓上，若兩個弧長相等相等則對應(yīng)的圓心角相等（也通過旋轉(zhuǎn)證明）

圓周角：頂點在圓上的角叫做圓周角

3.2 圓周角定理

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

證明：

用外角證明

連接op，燕尾型

連接op反向延長。

可得

半圓/直徑所對的圓周角是直角

同弧或等弧所對的圓周角/圓心角相等

3.3 弧/弦/圓心角/圓周角的統(tǒng)一

在同圓/等圓中，弦相等，圓心角相等，弧相等。

大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，用三個點表示

小于半圓的弧叫做劣弧/弧，用兩個點表示

4【知識】圓的內(nèi)接四邊形（含四點共圓）

如果一個四邊形的四個點在同一個圓上，那么我們稱這個四邊形是圓的內(nèi)接四邊形

性質(zhì)1：圓內(nèi)接四邊形的對角之和等于180°

證明：圓周角定理。360/2

推廣結(jié)論

∠2=∠5

性質(zhì)2：同弧所對的圓周角相等

四點共圓的判定

1：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點共圓.

2：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點共圓。

證明：過ABC作一個圓，明顯D一定在圓上。若不在圓上，可設(shè)射線BD與圓的交點為D'，那么∠BD'C=∠BAC=∠BDC，與外角定理矛盾。

（摘自百度百科，實在不會表述）

5【知識】點線面的位置關(guān)系

5.1 點

設(shè)?O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：

點P在圓外?d>r

點P在圓上?d=r

點P在圓內(nèi)?d<r

前面已經(jīng)說過

不在同一直線上的三個點確定一個圓。

那么，如果給出（不共線）三個點，怎么畫圓呢

連接其中兩條線段，作垂直平分線，交點即圓心（線段的垂直平分線上的點到線段兩邊的距離相等）有且僅有這一個圓心。

5.2 線

沒有公共點

一個公共點

兩個公共點

6【知識】圓的切點與切線

圓的切線：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

即，切點于圓心連接的半徑垂直于過該切點的切線

切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平方兩條切線的夾角

拓展：此時兩個切點的連線與此平分線垂直（全等）

內(nèi)切圓：在一個圖形內(nèi)，一個圓與圖形每條邊相切，我們說這個圓是這個圖形的內(nèi)切圓。每個三角形都有內(nèi)切圓。圓心為其內(nèi)心（Incenter），三角形三條內(nèi)角角平分線的交點叫三角形的內(nèi)心。

外接圓：一個平面圖形的頂點在都一個圓上，這時我們說這個圓是這個圖形的外接圓

7【知識】正多邊形與圓

7.1正多邊形

所有的正多邊形都有外接圓

因為正多邊形的中心到頂點的距離相等

7.2 中心角&邊心距&內(nèi)角度數(shù)

中心角的計算公式：360/n

邊心距：圓心到弦長中點的距離

內(nèi)角度數(shù):(n-2)×180°/n

例題如下

8【考點】垂徑定理的食用策略

①垂直⊥

當(dāng)直徑垂直于一條弦時

②中點

當(dāng)弦的中點出現(xiàn)時

例題如下

（2020武漢）

競賽

完結(jié)撒花\(@^0^@)/