函數(shù)（上）

2023-07-17 17:23 作者:24bs 0人讀過 | 我要投稿

$x%2Cy%5Cin%20%5Cmathbb%20R$ ， $e%5E%7Bx%2B2y%7D-%5Cln(x%2B3y-2)%5Cle%204-y$ ，求? $y-x$ ?的值。

$%5Ccdots%20%5CLeftrightarrow%20e%5E%7Bx%2B2y%7D-(x%2B2y)%5Cle%20%5Cln(x%2B3y-2)-(x%2B3y-2)%2B2$

由于? $e%5E%7Bx%2B2y%7D-(x%2B2y)%5Cge%201$ ， $%5Cln(x%2B3y-2)-(x%2B3y-2)%2B2%5Cle%201$ ，故以上不等號均取等，后略

$g(x)%3D%5Clog_2%20%5Cdfrac%7B2x%7D%7Bx%2B1%7D%5C%20(x%3E0)$ ， $f(x)%3D%7Cg(x)%7C%5E2%2Bm%7Cg(x)%7C%2B3m%2B1$ ，若? $f(x)$ ?有三個零點，求? $m$ ?的值。

$f(x)%3D0$ ?是關(guān)于? $%7Cg(x)%7C$ 的一元二次方程。對? $g(x)$ 分析可知其在定義域上單調(diào)遞增，值域為? $(-%5Cinfty%2C2)$ ，則一個? $%7Cg(x)%7C$ 若只對應(yīng)一個? $x$ 當且僅當? $x%3D0$ ，由韋達定理即? $3m%2B1%3D0$ 。

$f(x)%3D%5Cdfrac%7B2%5Ex%2Bn%7D%7B2%5Ex%2B2%7D$ ， $%5Cforall%20a%2Cb%2Cc%5Cin%20%5Cmathbb%20R%2Cf(a)%2Bf(b)%3Ef(c)$ ，求? $n$ ?取值范圍。

$%5Ccdots%20%5CLeftrightarrow%202f_%7B%5Cinf%7D%20%5Cge(%5Ctext%7Bor%7D%3E)%5C%20%20f_%7B%5Csup%7D$

反解出值域： $y%3D%5Cdfrac%7B2%5Ex%2Bn%7D%7B2%5Ex%2B2%7D%5CRightarrow%202%5Ex%3D%5Cdfrac%7B2y-n%7D%7B1-n%7D%3E0%5CRightarrow%20(y-1)(y-%5Cdfrac%7Bn%7D%7B2%7D)%3C0$

$f(x)$ ?定義域? $%5B1%2C%2B%5Cinfty)$ ， $f(2x)%3D2f(x)$ ，且當? $x%5Cin%20%5B1%2C2)$ ?時， $f(x)%3Dx-1$ 。試判斷是否? $%5Cexists%20x%5Cin%20%5Cmathbb%20Z%2C%5C%20f(2%5Ex%2B1)%3D8$ 。

由歸納法可知? $f(2%5Ekx)%3D2%5Ekf(x)%2C%5C%20k%5Cin%20%5Cmathbb%20N%5E*$ 。假設(shè)存在這樣的 $x$ ，分 $x%3E0%2Cx%3D0%2Cx%3C0$ 討論。若 $x%3E0$ ，則 $f(2%5Ex%2B1)%3Df(2%5Ex(1%2B2%5E%7B-x%7D))%3D2%5Exf(1%2B2%5E%7B-x%7D)$ ，后略；后兩種情形略去?？傊淮嬖谶@樣的? $x$ 。

$f(x)%3Dx%5E2%2Bax%2Ba$ ， $A%3D%5C%7Bx%5Cmid%20f(x)%5Cle%20x%5C%7D$ ， $B%3D%5C%7Bx%5Cmid%20f(f(x))%5Cle%20f(x)%5C%7D$ ， $A%5Cnot%3D%20%5Cvarnothing%2CA%5Csubseteq%20B$ ，求? $a$ ?取值范圍。

由? $A$ 非空知? $a%5Cin%20(-%5Cinfty%2C3-2%5Csqrt2%5D%5Ccup%20%5B3%2B2%5Csqrt2%2C%2B%5Cinfty)$ ；因為? $A%5Csubseteq%20B$ ，故滿足? $f(x)%5Cle%20x$ ?的? $x$ 一定也滿足? $f(f(x))%5Cle%20f(x)$ 。設(shè)? $f(x)%5Cle%20x$ ?時 $x%5Cin%20%5Bx_1%2Cx_2%5D$ ， $f(x)%5Cin%20%5By_1%2Cy_2%5D$ ，則需要滿足? $%5Bx_1%2Cx_2%5D%5Csubseteq%20%5By_1%2Cy_2%5D%5CLeftrightarrow%20y_1%5Cle%20x_1%5Cle%20x_2%5Cle%20y_2$ 。令 $f(x)%3Dx$ ?解得? $x_1%3D%5Cdfrac%7B1-a-%5Csqrt%7Ba%5E2-6a%2B1%7D%7D%7B2%7D$ ， $x_2%3D%5Cdfrac%7B1-a%2B%5Csqrt%7Ba%5E2-6a%2B1%7D%7D%7B2%7D$ 。若? $y_1%3Df_%7B%5Cmin%7D%3Df(-%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2%7D)$ ，則? $y_1%5Cge%20x_1$ ；若? $y_1%3Df(x_2)%3Dx_2$ ，則 $y_1%3Dx_2%5Cle%20x_1$ ；否則， $y_1%3Df(x_1)%3Dx_1$ ，此時須滿足? $-%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2%7D%5Cle%20x_1$ ，則? $a%5Cin%20%5B0%2C6%5D$ ，經(jīng)檢驗以上兩種情形若能取等亦包括在這種情形當中。故? $a%5Cin%20%5B0%2C3-2%5Csqrt2%5D%5Ccup%20%5B3%2B2%5Csqrt2%2C6%5D$ 。

$x%3E1$ ?時， $x%5E%7B-4%7De%5Ex-a%5Cln%20x%5Cge%20x%2B1$ ?恒成立，求? $a$ ?取值范圍。

法一： $%5Ccdots%5CLeftrightarrow%20e%5E%7Bx-4%5Cln%20x%7D%5Cge%20a%5Cln%20x%2Bx%2B1$ ?恒成立。又? $e%5E%7Bx-4%5Cln%20x%7D%5Cge%20x-4%5Cln%20x%2B1$ ，故令? $x-4%5Cln%20x%2B1%5Cge%20x%2Ba%5Cln%20x%2B1$ ，得? $a%5Cle%20-4$ ，取等略。這是原命題成立的充分條件，而必要性通過反證即可得到。
法二： $a%5Cle%20%5Cdfrac%7Bx%5E%7B-4%7De%5Ex-x-1%7D%7B%5Cln%20x%7D%5Ctriangleq%20f(x)$ ，則? $f(x)%3D%5Cdfrac%7Be%5E%7Bx-4%5Cln%20x%7D-x-1%7D%7B%5Cln%20x%7D%5Cge%20%5Cdfrac%7B-4%5Cln%20x%7D%7B%5Cln%20x%7D%3D-4$ ，可取等，故? $a%5Cle%20f_%7B%5Cmin%7D%3D-4$ 。

$f(x)%3D%5Clg(%5Csqrt%7Bx%5E2-2x%2B2%7D-x%2B1)$ ， $g(x)%3D%5Cdfrac%7B2%5Ex%2B6%7D%7B2%5Ex%2B2%7D$ ，判斷以下說法正確性：

A.? $f(x)$ ?為奇函數(shù)

B.? $g(x)$ ?圖像關(guān)于點? $(1%2C2)$ ?對稱

C.? $F(x)%5Ctriangleq%20f(x)%2Bg(x)$ ?在? $x%5Cin%20%5B1-m%2C1%2Bm%5D$ ?上的最大值與最小值之和為? $4$

D.? $F(x)%5Ctriangleq%20f(x)%2Bg(x)$ ，若? $F(a)%2BF(-2a%2B1)%3E4$ ，則? $a%5Cin%20(-1%2C%2B%5Cinfty)$

算? $f(x)%2Bf(2-x)$ ?可知 $f(x)$ ?圖像關(guān)于點? $(1%2C0)$ 對稱；事實上， $f(0)%5Cnot%3D0$ ，故 A 錯誤。 $t%3Dx-1$ ，故 B 正確。令? $t%3Dx-1$ ，則? $f(x)%3D%5Clg(%5Csqrt%7Bt%5E2%2B1%7D-t)%3D%5Clg(%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bt%5E2%2B1%7D%2Bt%7D)$ ，求導(dǎo)可得? $g(x)$ ?在? $%5Cmathbb%20R$ 上單調(diào)遞減； $g(x)%3D%5Cdfrac%7B2%5Ex%2B6%7D%7B2%5Ex%2B2%7D%3D1%2B%5Cdfrac%7B4%7D%7B2%5Ex%2B2%7D$ ，故? $g(x)$ 在? $%5Cmathbb%20R$ 上單調(diào)遞減；又由兩函數(shù)圖像的對稱性可知 C 正確；D 正確性略。故選 BCD。