【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學叢書”系列17冊的基礎上又添加了1冊八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認為《微積分初步》這本書對“準大學生”很重要，以我的慘痛教訓為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學了個寂寞。另外大學物理的前置條件是必須有基礎微積分知識，因此我所讀院校的大學物理課是推遲開課；而比較生猛的大學則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學課）。我選擇在“自學叢書”17本的基礎上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學前可以看看，不至于像我當年那樣被高數(shù)打了個措手不及。?

第一章直線、角、平行線——平行線?

§1-11平行線的判定和畫法

【01】假設當兩條直線 AB 和 CD 被截線 EF 所截成的內(nèi)錯角相等（圖1·72(1）)，例如 ∠1＝∠2 時，我們來證明直線 AB // CD? 。要證實直線 AB 平行 CD，也就是要證實 AB 與 CD 不相交。

【02】由于?∠1＝∠2，因為 ∠3 和 ∠4 分別是兩個等角的補角，所以 ∠3 也等于 ∠4? 。

【03】取圖(1)線段 MN 的中點 O，把圖形在平面內(nèi)繞著點 O 旋轉(zhuǎn)，使它右邊部分轉(zhuǎn)到左邊，左邊部分（陰影）轉(zhuǎn)到右邊，如圖(2)所示。

【04】事實上，旋轉(zhuǎn)時點?O?沒有動，使線段 ON 轉(zhuǎn)到 OM 的位置，也就是線段 MN 在原來位置調(diào)一個頭，點 N 調(diào)到 M，點 M 調(diào)到 N 的位置。

【05】因為?∠1＝∠2，ND 就與 MA 重合，也就是直線 DC 與 AB 原位置重合；又因為 ∠3＝∠4，MB就與 NC 重合，也就是直線 BA 與 CD 原位置重合，如圖(3)所示，其中括號內(nèi)的字母表示旋轉(zhuǎn)后的位置。

【06】如果我們假定?AB?與 CD 能相交于很遠的地方一點 P，則在旋轉(zhuǎn)后的 (A) (B) 和 (C) (D) 的方向恰好是原來的相反方向，根據(jù)上述假定，它們又必須相交于 P'? 。但是這是不可能的，因為兩條直線如果相交，只能有一個交點。

【07】因而我們假定?AB?與 CD 在內(nèi)錯角 ∠1＝∠2 的情形下能相交是不可能的。

【08】所以?AB //?CD 就得到了證明。

【注意】本節(jié)的證明是用的旋轉(zhuǎn)圖形方法，讀者初看起來可能會不清楚。建議讀者最好用硬紙條依照圖1·73(1)做同樣的兩個模型，使它們的內(nèi)錯角相等，并且把模型固定起來，用紅色涂 B 和 D 這兩個頭，然后把這兩個相同的模型重合在一起，以點 O 為中心（在點 O 插一小針）旋轉(zhuǎn)上面那個模型，達到圖1·73(3)的位置。通過模型演示一番以后，對這種旋轉(zhuǎn)會清楚得多，再看上面的證明，就容易明白了。

【09】上面的敘述包括兩個部分：

1、假設——直線 AB 和 CD 被截線 EF 所截成的內(nèi)錯角相等，即 ∠1＝∠2? 。?

2、結(jié)論——AB // CD? 。

【10】如果關于一件數(shù)學事實的敘述包含“假設”和“結(jié)論”這兩個部分，那末這樣的敘述就成為一個數(shù)學命題，簡稱命題。例如，§1-1 里的“經(jīng)過兩點可以畫一條直線，并且只可以畫一條直線”是一個命題，它的假設是“經(jīng)過兩點畫直線”；結(jié)論是“可以畫一直線并且只能畫一條直線”。又如§1-9里對頂角的性質(zhì)也是一個命題，它的假設是“兩直線相交所成的對頂角”結(jié)論是“對頂角相等”，象這樣的命題我們在前面已經(jīng)學了不少，讀者自己去觀察一下就會發(fā)現(xiàn)的。

【11】如果一個命題根據(jù)它假設的條件，經(jīng)過證明的步驟，證實它的結(jié)論是正確時，我們稱這個命題為定理。上面這個定理是判定兩條直線平行的，因此叫做平行線的“判定定理”。這個定理我們敘述如下：

【12】平行線判定定理1：兩條直線和第三條直線相交，如果內(nèi)錯角相等，那末這兩條直線平行。

【13】現(xiàn)在我們再來看下面的定理：

【14】平行線判定定理2：兩條直線和第三條直線相交，如果同位角相等，那末這兩條直線平行。

【已知】∠1＝∠5（就是定理的假設 ∠1＝∠5）。（圖1·74）

【求證】AB?//?CD（就是定理的結(jié)論AB?//?CD）。

【15】在證明定理的時候，應該先進行分析，探求證明的途徑，然后再進行證明。

【分析】根據(jù)定理1，如果能證得內(nèi)錯角 ∠3＝∠5，就可判定 AB?//?CD? 。這里 ∠1 和 ∠3 是對頂角，所以是相等的。而題設 ∠1＝∠5，就可以證得 ∠3＝∠5? 。

【證】∠1＝∠5（已知），又 ∠1＝∠3（對頂角相等），∴ ∠3＝∠5（等于同量的量相等）。根據(jù)平行線判定定理1，可以判定：AB?//?CD? 。

【16】這里要特別注意，某些命題必須證明了它的結(jié)論是正確的，才能確定這個命題是一個定理。在證明的時候，先要分清命題的已知條件（假設）和求證（結(jié)論），也就是已經(jīng)知道了哪一些條件，要求證的是什么？這一步很重要，當然對初學幾何者來說會產(chǎn)生一定的困難，希望讀者特別重視。證明時先依照題目的條件畫出一個符合于條件的示意圖（如圖1·74就是），作為分析思考的依據(jù)。然后從已知條件和前面已經(jīng)學到的幾何命題（結(jié)論已證明是正確的）來探求證明的途徑。找到了證明的方法以后，就應該按照證明步驟進行證明，在證明里的每一步都要有根據(jù)（已知條件或已經(jīng)學過的定理），并且把它的根據(jù)用簡明的敘述寫在括號里。例如平行線判定定理2的證明格式，它包含四步：(1)已知；(2)求證；(3)分析；(4)證明。

【17】其中的(1)，(2)，(4)是不可缺少的。分析這一步非常重要，我們通過分析來獲得證明的途徑，也是能不能證明的關鍵。但是這一步可以在草稿紙上做，不必寫出來。本書所以寫出來是做一個示范，啟發(fā)讀者思維和分析能力。

【18】讀者或許會這樣想，定理為什么一定要經(jīng)過證明這個步驟呢？下面舉出幾個例子來說明定理的證明是必要的。

例1.如圖1·75中的線段 a 和 b，憑目力來觀測，就會感覺線段 a 比線段 b 較長，其實線段 a 是等于線段 b 的，我們用兩腳規(guī)來量一下就可以證實了。

????????用兩腳規(guī)量的過程，就是一種證明的方法，它的依據(jù)是等于同量（兩腳尖的距離）的量相等。本例說明了目力估計是不足為憑的。

例2.“一個正方形，它的每邊是8個單位長，它的面積不是64個，而是65個平方單位?！边@個例題是一個詭辯，如果不經(jīng)過證明，就很難駁倒它（圖1·76）。

????????詭辯的理由是這樣的，把正方形分成四部分，如圖1·76(1)? 。再把梯形Ⅰ和三角形Ⅲ，梯形Ⅱ和三角形Ⅳ拼成圖1·76(2)? 。把(2)中的兩個三角形拼成圖1·76(3)，而(3)是一個長方形，它的寬是 5 個單位，長是 13 個單位，由于 13×5＝65，所以它的面積是 65 個平方單位。

????????其實詭辯的理由是不成立的。因為它用的是“實驗方法”。是沒有根據(jù)的。圖(2)就不是三角形，圖(3)也不是長方形。這些都必須經(jīng)過證明來批駁它。本例說明了憑脫空的實驗也是不可靠的。象這樣的例子很多，這里不多舉了。

【19】總之，一個定理是否成立，必須經(jīng)過證明才能確定。下面我們來討論平行線的判定：

【20】平行線判定定理3：兩條直線和第三條直線相交，如果同旁內(nèi)角的和等于 180°，那末這兩條直線平行。

【已知】∠4＋∠5＝180°（圖1·77）。

【求證】EF //?GH? 。

【分析】如果能證得 ∠3＝∠5，就可判定 EF // GH? ?！?＋∠4＝180°（EF是直線），又已知 ∠5＋∠4＝180°，從此可以知道 ∠3＝∠5? 。

【證】∠5＋∠4＝180°（已知），又 ∠3＋∠4＝180°（EF是直線），

∴?∠3＝∠5（同角的補角相等）。

根據(jù)平行線判定定理1，可以判定：?EF //?GH? 。

【21】根據(jù)上述的判定定理，我們可以用直尺和三角板作平行線。畫的方法如下：

【22】將三角板靠在直尺上，如圖1·78所示。把三角板移動，使它的一條邊順著直尺滑動，而順著三角板的其他一邊作兩條直線，則這兩條直線是平行線（根據(jù)判定定理2）。

【23】畫平行線還可以用丁字尺〖山注||? 好懷念啊！我是大學學習“建筑制圖”時才開始使用丁字尺，然后就開啟了我工程繪圖的噩夢，幸虧大三開始學習“CAD制圖”，這才解脫?！?/span>。丁字尺分尺頭、尺身兩部（圖1·79），尺頭的里邊和尺身的上邊應平直，并且一般互相垂直，也有把尺頭和尺身用螺栓連接起來，可以轉(zhuǎn)動尺頭，使它和尺身成一定的角度。

【24】用丁字尺畫平行線的方法如圖1·80? 。畫直線時要按定尺身，推移時必須使尺頭靠緊圖畫板。

習題1-11

1、如圖。根據(jù)下列已知條件，分別說出直線 AB // CD 的理由：

(1) ∠1＝∠5；【同位角相等】

(2) ∠1＝∠7；【∠1＝∠5 或 ∠3＝∠7】

(3) ∠4＝∠6；【內(nèi)錯角相等】

(4) ∠3＋∠6＝180°；【同旁內(nèi)角的和等于180°】

(5) ∠1＋∠8＝180°；【∠1＝∠5?或?∠4＝∠8】

(6) ∠9＝∠10＝90°? ?！尽?＋∠10＝180°】

2、如圖中 ∠ABC＝120°，∠BCD＝120°，AB 平行 CD 嗎？為什么？【AB // CD，因為內(nèi)錯角相等】

3、如圖中，∠1＝∠4，∠2＝∠3，AM // ND 嗎？為什么？【AM?//?ND，因為內(nèi)錯角 ∠DNM＝∠AMN】

4、已知 ∠1＝∠2，∠2＝∠3（如圖）。求證：a?//?c? 。

[證：∠1＝∠2（已知），∠2＝∠3（已知），∴ ∠1＝∠3（等于同量的量相等）?！?a?//?c（同位角相等兩直線平行）。]

【注意】做下面的證明題要照本題的格式來證明，每一步都要把理由用括號寫在后面。

5、怎樣用直尺和三角板來檢驗兩條直線是不是平行。[提示：檢驗方法同三角板推平行線類似，但是本題的兩條直線是已知的。]

6、如圖中的 ∠COD＝d，∠1＝d，AB 和 OD 是不是平行？為什么？[提示：本題是一個問答題，只要說出它的結(jié)論和理由]

7、如果兩條直線都和第三條直線垂直，那宋這兩條直線平行。[提示：本題是一個證明題，先照題目畫好圖，寫出“已知”和“求證”。然后再“證明”]

8、如圖中已知 ∠1＝∠2＝∠3＝∠4，求證：AB?//?DC，AD?//?BC? 。[提示：要證明 AB?//?DC 必須證得 ∠1＝∠4；要證明 AD?//?BC 必須證得 ∠3＝∠2?]

9、如圖中，已知 CE 平分 ∠DCB，BE 平分 ∠ABC，又 ∠1＋∠2＝90°? 。求證：AB // DC? 。[提示：證明 ∠ABC＋∠DCB＝180° ]

10、用直尺和三角板，過已知直線 a 外面的一點 P（下圖）畫直線 a 的平行線。能畫幾條？【一條】

11、如圖中，Q 是∠ABC 內(nèi)的一定點，過點 Q 畫兩直線分別平行角 ABC 的兩邊。