【數(shù)分/高數(shù)思想方法】數(shù)列極限——極限的證明【定義法/柯西收斂準(zhǔn)則】

2023-08-03 20:32 作者:后起達(dá)人 0人讀過 | 我要投稿

前言：本專欄是一個(gè)系列教程。會(huì)將高數(shù)數(shù)分的思想方法大致都過一遍，算是進(jìn)階版的教程【√

這次的內(nèi)容是數(shù)列極限中的證明與計(jì)算，理論上數(shù)列極限的引入要建立在實(shí)數(shù)公理系統(tǒng)之上，不過考慮到高數(shù)沒有相關(guān)內(nèi)容，這里就先挖個(gè)坑以后再填【lan√】，看本專欄前你需要將相關(guān)基礎(chǔ)知識都看一遍，要求很低，只需要達(dá)到了解的程度即可。

數(shù)列極限——極限的證明問題

一、用定義證明數(shù)列極限

二、用柯西收斂準(zhǔn)則證明極限

三、證明極限不存在以及否定形式的應(yīng)用

四、利用單調(diào)有界證明極限存在

五、利用子列及歸結(jié)原則

本專欄為一、二部分的內(nèi)容。

一、用定義證明數(shù)列極限

I.極限定義的ε-N法

回顧數(shù)列極限的定義：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%5Cexists%20%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0N%2C%E5%BD%93n%3EN%E6%97%B6%2C%5Cvert%20%20a_n-A%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon%20$

記為 $%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20a_n%3DA%20$

由極限定義可以推得收斂數(shù)列an具有唯一性、有界性、保號性、迫斂性【夾逼準(zhǔn)則】

用定義證明時(shí)，給定的是任意小的數(shù)，只有N是要求的，找到N=N(ε)即可，一般采取以下方法：

①解方程 $%5Cvert%20a_n-A%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon%20%5Cimplies%20n%3EN(%5Cvarepsilon%20)%2C%E4%BB%A4N%3DN(%5Cvarepsilon%20)$ 即可得證

②放大法（放縮）：當(dāng)①中的方程不好解的時(shí)候可以采取該方法，將不等式左邊放縮一個(gè)n的函數(shù)f(n)，只需要f(n)<ε即可，用式子表示：

$%5Cvert%20a_n-A%20%5Cvert%20%E2%89%A4f(n)%3C%5Cvarepsilon%20%5Cimplies%20n%3EN(%5Cvarepsilon%20)%2C%E4%BB%A4N%3DN(%5Cvarepsilon%20)$

③分布法：假定n已經(jīng)足夠大，大于某數(shù)，將式子拆開，大于某數(shù)的項(xiàng)方便放縮，這個(gè)后面會(huì)講。

下面給出一些典例：

$%E5%AE%9A%E7%90%861%EF%BC%9A%E8%AE%BE%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20a_n%3DA%2C%E5%88%99%E6%9C%89%20$

$(1)%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Ba_1%2Ba_2%2B%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20%2Ba_n%20%7D%7Bn%7D%20%20%3DA$

$(2)%E8%8B%A5a_n%3E0%EF%BC%8C%E5%88%99%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1a_2%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20a_n%7D%3DA%20%20$

解析：建立在（1）的基礎(chǔ)之上，假設(shè)（1）成立，那么（2）顯然成立

這是由于均值不等式

$%5Cfrac%7Bn%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_1%7D%2B%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n%7D%20%7D%20%E2%89%A4%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20a_n%7D%20%5Cleq%20%5Cfrac%7Ba_1%2B%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20%2Ba_n%7D%7Bn%7D%20$

最右邊由（1）得顯然趨于0，來看不等式最左邊，再利用（1）的結(jié)論【A=0時(shí)顯然成立】：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n%7D%20%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BA%7D%20%5Cimplies%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_1%7D%20%2B%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n%7D%20%7D%7Bn%7D%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BA%7D%20$

再倒一下，因此左邊也趨于A，由夾逼準(zhǔn)則，得證。

重點(diǎn)關(guān)注第一問，這里就要用到分布法：

（1）的證明：

對an→A用極限的定義表述，即

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%5Cexists%20N_1%2C%E5%BD%93n%3EN_1%E6%97%B6%2C%5Cvert%20a_n-A%20%5Cvert%20%3C%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B2%7D%20$

觀察要證等式用極限定義所得不等式的左邊，為了方便放縮，用一下絕對值不等式

$I%3D%5Cvert%20%5Cfrac%7Ba_1%2B%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%2Ba_n%20%7D%7Bn%7D%20%20-A%5Cvert%20%EF%BC%9D%5Cvert%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20(a_k-A)%7D%7Bn%7D%20%20%5Cvert%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Cvert%20a_k-A%20%5Cvert%20%7D%7Bn%7D%20$

n>N1的部分即可用定義式放縮，因此上式

$I%5Cleq%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN_1%7D%5Cvert%20a_k-A%20%5Cvert%20%20%20%7D%7Bn%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bn-N_1%7D%7Bn%7D%20$ ,記為式（#）

這里第一項(xiàng)分子是有限項(xiàng)，所以趨于0，這里再用一次極限的定義式子：

$%E5%AF%B9%E4%B8%8A%E8%BF%B0%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%5Cexists%20N_2%2C%E5%BD%93n%3EN_2%E6%97%B6%2C%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN_1%7D%20%5Cvert%20a_k-A%20%5Cvert%20%7D%7Bn%7D%20%3C%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B2%7D%20$

$%E5%8F%96N%3D%5Cmax%5Cleft%5C%7B%20N_1%2CN_2%20%5Cright%5C%7D%20$

并代入（#）式子右邊得

$I%3C%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B2%7D%20%2B(1-%5Cfrac%7BN_1%7D%7Bn%7D%20)%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B2%7D%20%3C%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B2%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B2%7D%20%3D%5Cvarepsilon%20$

由極限定義，得證。

【事實(shí)上這個(gè)問題用stolz公式可以直接做出來，這個(gè)公式后續(xù)專欄會(huì)有專題，故這里暫時(shí)不提】

這里的證明就用到了分步法，假定n已經(jīng)大于N1將式子拆成n小于N1的部分和n大于等于N1的部分，再進(jìn)行放縮，用這種方法結(jié)合（定理1）也可以證明下面這個(gè)定理:

$%E5%AE%9A%E7%90%862%3A%E8%8B%A5%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20x_%7B2n-1%7D%3Da%2C%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20x_%7B2n%7D%3Db$

$%E5%88%99%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%2B%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20%2Bx_n%7D%7Bn%7D%20%3D%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%20$

這個(gè)證明和之前的差不多，不再贅述了，請讀者自己完成【不會(huì)再來私信⑧】

提示一下：

$%E4%BB%A4y_n%3D%5Cfrac%7Bx_1%2B%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%2Bx_n%20%7D%7Bn%7D%20%2C%E5%85%88%E8%AF%81y_%7B2n%7D%E2%86%92%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%20%E5%86%8D%E8%AF%81y_%7B2n%2B1%7D%E2%86%92%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%20$

II.擬合法

再介紹一種不太常用的擬合法：在用定義證明| an-A |<ε時(shí)，有時(shí)候an無法簡化，可以考慮把A轉(zhuǎn)化成n的函數(shù)：A=A(n),一般情況下會(huì)用到這個(gè)公式:

$%E5%85%AC%E5%BC%8F%3AA%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7D%20A$

下面給一個(gè)典例:

$%E4%BE%8B%3A%E8%AE%BEf(x)%E4%B8%8Ex%E4%B8%BAx%E2%86%920%E6%97%B6%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%B0%8F%2Cx_n%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20f(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20)$

$%E6%B1%82%E8%AF%81%3A%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20x_n%3Da%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADa%3E0$

證明:

套用上面的公式，寫出極限定義式，用絕對值不等式放縮：

$%5Cvert%20x_n-a%20%5Cvert%20%3D%5Cvert%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enf(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7D%20a)%20-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7D%20a%20%20%5Cvert%20$

$%3D%5Cvert%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En(f(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20)-%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20)%20%20%5Cvert%20%5Cleq%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cvert%20f(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20)-%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20%20%20%5Cvert%20$

再根據(jù)極限的定義式，只需證明

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cvert%20f(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20)-%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20%20%20%5Cvert%3C%5Cvarepsilon%20%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7D%20%5Cvarepsilon%20$

只需證明左邊的每一項(xiàng)小于右邊的每一項(xiàng)，即

$%20%5Cvert%20f(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20)-%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20%20%20%5Cvert%3C%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7D%20%5Cvarepsilon%3D%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7D%20%20a%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B%20a%20%20%7D%20$

【右邊式子湊一個(gè)a，為了和左邊一致】

$%5Ciff%20%5Cvert%5Cfrac%7Bf(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da)-%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%7D%7B%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20%7D%20%20%5Cvert%3D%20%5Cvert%5Cfrac%7Bf(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da)%7D%7B%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20%7D%20%20-1%20%5Cvert%3C%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%20%7D%7B%20a%20%20%7D%20$

此式子記為（*）

由f(x)與x為等價(jià)無窮小，得到

$%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20(%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7Bx%7D%20-1)%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20(%5Cfrac%7Bf(%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%20)%7D%7B%5Cfrac%7B2i-1%7D%7Bn%5E2%7Da%7D%20-1)%3D0$

由極限定義式（*）得證

III.利用極限的鄰域描述形式

接下來介紹極限定義的鄰域描述：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%E8%8B%A5%E5%9C%A8U(A%2C%5Cvarepsilon%20)%E5%A4%96%E7%9A%84%E9%A1%B9%E8%87%B3%E5%A4%9A%E4%B8%BA%E6%9C%89%E9%99%90%E4%B8%AA%5Ciff%20%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20a_n%3DA$

反之
$%5Cexists%20%5Cvarepsilon_0%3E0%2C%E4%BD%BF%E6%9C%89%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E8%90%BD%E5%9C%A8U(a%2C%5Cvarepsilon_0)%E5%A4%96%5Ciff%20%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20a_n%5Cneq%20A$

這個(gè)很好理解。

$%E5%AE%9A%E7%90%863%3A%E8%AE%BE%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20x_n%3Da%2C%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20y_n%3Db$

$%E4%BD%9C%E6%95%B0%E5%88%97z_n%3Ax_1%2Cy_1%2Cx_2%2Cy_2%2C%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20%2Cx_n%2Cy_n%2C%5Ccdot%20%5Ccdot%20%5Ccdot%20$

$%E6%B1%82%E8%AF%81%3Az_n%E6%94%B6%E6%95%9B%5Ciff%20a%3Db$

這個(gè)問題用鄰域描述的方法就方便得多

證明

①必要性：設(shè)zn→A，則?ε>0,{zn}中落在U(A,ε)外的項(xiàng)至多有限，因此{(lán)xn},{yn}中落在U(A,ε)外的項(xiàng)至多有限，即A=limxn=limyn

② 充分性：由a=b=A，得到{xn},{yn}中落在U(A,ε)外的項(xiàng)至多有限，因此{(lán)zn}同理，得證。

二、用柯西收斂準(zhǔn)則證明極限

回顧柯西收斂準(zhǔn)則

$%7Bx_n%7D%E6%94%B6%E6%95%9B%5Ciff%20%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%5Cexists%20N%2C%5Cforall%20m%2Cn%3EN%2C%5Cvert%20x_m-x_n%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon%20$

$%5Ciff%20%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%5Cexists%20N%2C%E5%BD%93n%3EN%E6%97%B6%2C%5Cvert%20x_%7Bn%2Bp%7D-x_n%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon%20(%5Cforall%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0p%20)$

$%E6%B3%A8%EF%BC%9A%E6%AD%A4N%E5%8F%AA%E4%B8%8E%5Cvarepsilon%20%E6%9C%89%E5%85%B3%EF%BC%8C%E4%B8%8Ep%E6%97%A0%E5%85%B3%EF%BC%8C%E5%8D%B3N%3DN(%5Cvarepsilon%20)$

即{xn}為基本列

柯西收斂準(zhǔn)則的特點(diǎn)是，不需要預(yù)先猜測極限的值就能證明收斂性。

不過事實(shí)上這個(gè)準(zhǔn)則更多是用于證明數(shù)列極限的特殊形式——數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性

這里只舉一例：

$%E4%BE%8B%3A%E8%AF%81%20%E6%98%8Ex_n%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Cfrac%7B%5Csin%20k%20%7D%7B2%5Ek%7D%20%E6%94%B6%E6%95%9B$

證明：

$%5Cvert%20x_%7Bn%2Bp%7D-x_n%20%5Cvert%20%3D%5Csum_%7Bk%3Dn%2B1%7D%5E%7Bn%2Bp%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20k%20%7D%7B2%5Ek%7D%20%5Cleq%20%5Csum_%7Bk%3Dn%2B1%7D%5E%7Bn%2Bp%7D%20%5Cfrac%7B1%20%7D%7B2%5Ek%7D%5Cleq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%20$

因此只需

$%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D%20%3C%5Cvarepsilon%20%5Ciff%20n%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cvarepsilon%20%7D%20%2C%E5%8F%96N%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cvarepsilon%20%7D%20%E5%BE%97%E8%AF%81$