前置知識(shí)：高等數(shù)學(xué)(一元函數(shù)微積分、無(wú)窮級(jí)數(shù))、復(fù)變函數(shù)(解析函數(shù)、積分、級(jí)數(shù)、留數(shù))

????????上一次，我們遺留了三個(gè)問(wèn)題：

1. 為什么函數(shù)1/(1+x2)的收斂半徑是1？

2. 函數(shù)x/(e?-1)的收斂半徑是怎樣確定的？

3. 諸如反雙曲余弦函數(shù)等，它們沒(méi)有Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，這是為什么？

????????這次我們將一一解答上述問(wèn)題。

????????接下來(lái)需要用到復(fù)變函數(shù)的知識(shí)，考慮到觀眾同學(xué)可能沒(méi)有學(xué)過(guò)復(fù)變函數(shù)，首先我將對(duì)要用到的知識(shí)做簡(jiǎn)要說(shuō)明。若無(wú)特殊聲明，所考慮的變量z(z=x+iy, x, y為實(shí)數(shù))都是在復(fù)數(shù)域內(nèi)的。

????????對(duì)于一個(gè)一般的復(fù)函數(shù)f(z)，我們總可以把它寫(xiě)成

于是，研究一個(gè)復(fù)函數(shù)時(shí)，可以從兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)出發(fā)?？梢则?yàn)證，所有基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式對(duì)復(fù)函數(shù)同樣成立。

????????復(fù)函數(shù)解析是對(duì)實(shí)函數(shù)可微概念的推廣，但解析的限制要強(qiáng)于可微。復(fù)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，不僅要求其實(shí)部u(x,y)和虛部v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可微，還要滿足Cauchy-Riemann方程

這樣的函數(shù)f(z)被稱為D上的復(fù)解析函數(shù)，也叫全純函數(shù)?？梢宰C明，z?(n=1,2,…)，e?都是全純函數(shù)。如此嚴(yán)格的限制使得全純函數(shù)擁有很好的性質(zhì)，如全純函數(shù)無(wú)窮次可微，且其任意次導(dǎo)函數(shù)仍為全純函數(shù)(這為我們對(duì)全純函數(shù)一定可以進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)提供了直接證據(jù))；閉路積分為0(著名的Cauchy積分定理)，等等。這些性質(zhì)為復(fù)變函數(shù)的研究脫離實(shí)函數(shù)而自成一個(gè)分支體系奠定了基礎(chǔ)。

????????還有另一種函數(shù)，它在某點(diǎn)z0處不解析(這個(gè)點(diǎn)稱為孤立奇點(diǎn))，但是在z0的鄰域內(nèi)處處解析，這樣的函數(shù)稱之為亞純函數(shù)。如sin(z)就是亞純函數(shù)，z=kπ(k=…,-2,-1,0,1,2,…)是其奇點(diǎn)。亞純函數(shù)的性質(zhì)比全純函數(shù)稍差，其導(dǎo)函數(shù)只能是亞純函數(shù)。這使得亞純函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)是Laurent級(jí)數(shù)。

????????Laurent級(jí)數(shù)是對(duì)冪級(jí)數(shù)的推廣。形如

的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是Laurent級(jí)數(shù)。不知觀眾同學(xué)一直以來(lái)是否有個(gè)疑問(wèn)，收斂半徑中的“半徑”從何而來(lái)？畢竟實(shí)函數(shù)中，級(jí)數(shù)在一個(gè)對(duì)稱區(qū)間內(nèi)收斂，就起一個(gè)“收斂半徑”這樣的名字也太小題大做了吧？如果你有這樣的疑惑，那么，Laurent級(jí)數(shù)會(huì)告訴你答案。

????????接下來(lái)給出一個(gè)十分重要的定理。設(shè)亞純函數(shù)f(z)在復(fù)平面Z上有若干(非可去)奇點(diǎn)z1, z2,…, zk，且0≤|z1|<|z2|<…|zk|，則f(z)可以在若干圓環(huán)域

上寫(xiě)成不同的Laurent級(jí)數(shù)。反之，對(duì)于一給定的Laurent級(jí)數(shù)，若它收斂，其收斂域必為一圓環(huán)域(如果將圓也視為特殊的圓環(huán)的話)。這直觀地說(shuō)明了收斂半徑這個(gè)名字的由來(lái)。

????????奇點(diǎn)也是很重要的概念。奇點(diǎn)可以分成三類。第一類是可去奇點(diǎn)，若亞純函數(shù)f(z)在奇點(diǎn)z0處的Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，負(fù)冪次項(xiàng)系數(shù)都為0，那么奇點(diǎn)z0就是可去奇點(diǎn)。第二類是m級(jí)極點(diǎn)，若亞純函數(shù)f(z)在奇點(diǎn)z0處的Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，a-m不為0，且a-(m+k)全為0(k=1,2,…)，那么奇點(diǎn)z0就是m級(jí)極點(diǎn)。第三類是本性奇點(diǎn)，若亞純函數(shù)f(z)在奇點(diǎn)z0處的Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，負(fù)冪次項(xiàng)有無(wú)窮多項(xiàng)，那么奇點(diǎn)z0就是本性奇點(diǎn)。

????????設(shè)函數(shù)f(z)有一奇點(diǎn)z0，稱函數(shù)f(z)在奇點(diǎn)z0處的Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的a-1為z0處的留數(shù)，記為Res[f(z), z0]。留數(shù)當(dāng)然可以根據(jù)Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式來(lái)計(jì)算，不過(guò)，對(duì)于m級(jí)極點(diǎn)，我們還有計(jì)算公式

證明 寫(xiě)出函數(shù)f(z)在m級(jí)極點(diǎn)z0處的Laurent級(jí)數(shù)

????????于是

????????求m-1階導(dǎo)數(shù)

兩側(cè)取極限z→z0，再除以(m-1)!得證。

????????另外，可去奇點(diǎn)處的留數(shù)據(jù)定義顯然是0。

????????最后是計(jì)算復(fù)函數(shù)閉路積分的重要定理——留數(shù)基本定理。設(shè)亞純函數(shù)f(z)在簡(jiǎn)單正向閉路C上處處解析，C包圍的區(qū)域內(nèi)只有有限個(gè)奇點(diǎn)z1, z2,…, zn，則有

這個(gè)定理的證明涉及到一個(gè)復(fù)變函數(shù)中相當(dāng)重要的結(jié)論和思想，因此我在最后花費(fèi)一些篇幅簡(jiǎn)要證明了該定理。當(dāng)然證明過(guò)程不必看懂，這不影響后面我們玩Laurent級(jí)數(shù)。

????????以上是所有我們接下來(lái)要用到的關(guān)于復(fù)變函數(shù)的知識(shí)，下面我們正式開(kāi)始玩Laurent級(jí)數(shù)。

1.幾何級(jí)數(shù)

證明 |z|<1的情況可由實(shí)函數(shù)的情形推廣得到。

????????對(duì)|z|<1的情況作變換，z換成1/z

????????而左側(cè)

????????于是

????????兩邊取負(fù)即得級(jí)數(shù)(1)。

類似可證

????????現(xiàn)在我們可以說(shuō)明級(jí)數(shù)(4)的Taylor級(jí)數(shù)收斂半徑為1的原因了。表面上看起來(lái)，在實(shí)數(shù)域內(nèi)，函數(shù)1/(1+x2)并沒(méi)有奇點(diǎn)?？墒窃趶?fù)數(shù)域內(nèi)，顯然它有兩個(gè)奇點(diǎn)z=i和z=-i。于是根據(jù)我們前面提到的關(guān)于Laurent級(jí)數(shù)收斂域的定理，函數(shù)1/(1+x2)應(yīng)有兩個(gè)收斂域，|z|<1和|z|>1。在|z|<1的情況下，Laurent級(jí)數(shù)退化為Taylor級(jí)數(shù)，就得到了其Taylor級(jí)數(shù)收斂半徑為1的結(jié)果了。

2.三個(gè)特殊的Newton二項(xiàng)級(jí)數(shù)

提示：采用類似級(jí)數(shù)(1)的變換手法可證。

????????需要指出的是，復(fù)函數(shù)開(kāi)方運(yùn)算與實(shí)函數(shù)的算術(shù)方根不同，前者涉及到多值問(wèn)題，因此級(jí)數(shù)(5)~(7)的寫(xiě)法并不嚴(yán)謹(jǐn)。不過(guò)由于是開(kāi)平方，只需在需要的時(shí)候整體增加一個(gè)負(fù)號(hào)就可以了，無(wú)傷大雅。

3.對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)

????????首先有必要說(shuō)明一下復(fù)數(shù)域內(nèi)對(duì)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則。由歐拉公式

????????令θ=α+2kπ，有

這說(shuō)明復(fù)數(shù)域內(nèi)指數(shù)函數(shù)具有復(fù)周期2πi，這樣一來(lái)，仍規(guī)定對(duì)數(shù)運(yùn)算是指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，就會(huì)有

很明顯它是多值的。于是我們規(guī)定對(duì)數(shù)函數(shù)的主值為

這樣虛部的取值范圍就限定在了-π到π之間，它就是單值的了。

????????為了方便，后面有時(shí)將ln(z)也視為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù)中的一項(xiàng)，而不規(guī)范地將它移到等號(hào)另一側(cè)。

提示：對(duì)級(jí)數(shù)(2)逐項(xiàng)積分得級(jí)數(shù)(8)。注意1/z的原函數(shù)是ln(Cz)，想想如何確定C=1。

4.指數(shù)級(jí)數(shù)

證明 設(shè)

????????應(yīng)用一個(gè)重要的結(jié)論(證明附在最后)

其中C為包圍原點(diǎn)的正向(逆時(shí)針)簡(jiǎn)單閉曲線?？芍?/p>

????????于是

其中z1, z2,…,zp為C包圍區(qū)域內(nèi)的奇點(diǎn)。

????????考慮函數(shù)z/(e?-1)的奇點(diǎn)，可從e?-1的零點(diǎn)出發(fā)。解e?-1=0，得z=2kπi(k=0, ±1, ±2,…)。于是z/(e?-1)的全部奇點(diǎn)就是z=2kπi，并且都是1級(jí)極點(diǎn)(想一想，為什么)。所以，函數(shù)z/(e?-1)的Taylor級(jí)數(shù)收斂半徑為2π，在不同的區(qū)域2kπ<|z|<2(k+1)π(k=0, 1, 2,…)上可展成不同的Laurent級(jí)數(shù)。

????????由于e?的任意階導(dǎo)數(shù)仍為e?，因此e?在復(fù)平面上任一點(diǎn)z0處的Taylor展開(kāi)為

????????然后考慮函數(shù)z/(e?-1)在區(qū)域2kπ<|z|<2(k+1)π(k=0, 1, 2,…)上的Laurent級(jí)數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)

第一項(xiàng)實(shí)際上就是其Taylor級(jí)數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)。而后一項(xiàng)中

????????于是除了a1z=-z/2，其余各項(xiàng)可以寫(xiě)成

這就是級(jí)數(shù)(10)中的各項(xiàng)系數(shù)。

5.三角級(jí)數(shù)

????????采用證明實(shí)數(shù)域內(nèi)的三角級(jí)數(shù)的方法和指數(shù)級(jí)數(shù)(10)的證法可以證明三角級(jí)數(shù)(11)~(16)。

6.雙曲級(jí)數(shù)

????????仍利用三角函數(shù)與雙曲函數(shù)間的關(guān)系，容易寫(xiě)出雙曲級(jí)數(shù)(17)~(22)。

7.反雙曲級(jí)數(shù)

????????在復(fù)數(shù)域內(nèi)，因?yàn)榉措p曲函數(shù)可用對(duì)數(shù)來(lái)表示，因而反雙曲級(jí)數(shù)是多值的，需要我們?nèi)∑渲髦?。這時(shí)要注意取主值導(dǎo)致的常數(shù)項(xiàng)的增減和正負(fù)號(hào)的取舍。

????????反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的Laurent級(jí)數(shù)是容易寫(xiě)的，只需要對(duì)其導(dǎo)數(shù)的Laurent級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分，即可得反雙曲級(jí)數(shù)(23)~(26)。

????????由于arsech(z)=arcosh(1/z), arcsch(z)=arsinh(1/z)，所以可以直接寫(xiě)出反雙曲級(jí)數(shù)(27)(28)。

?

????????如果限定在實(shí)數(shù)域內(nèi)考察這些函數(shù)的漸進(jìn)級(jí)數(shù)，需要注意可能存在因取主值不恰當(dāng)而導(dǎo)致的常數(shù)和正負(fù)號(hào)增減問(wèn)題。如：

8.反三角級(jí)數(shù)

????????類似的，反三角函數(shù)它也是多值的，也需要我們?nèi)∑渲髦怠?/p>

????????反三角函數(shù)同樣可以用對(duì)數(shù)來(lái)表示

????????于是可推導(dǎo)反雙曲函數(shù)和反三角函數(shù)的關(guān)系

????????進(jìn)而寫(xiě)出反三角級(jí)數(shù)(29)~(31)。

????????再根據(jù)反三角函數(shù)之間的關(guān)系arccot(z)=arctan(1/z), arcsec(z)=arccos(1/z), arccsc(z)=arcsin(1/z)，可寫(xiě)出級(jí)數(shù)(32)~(34)。

????????如果限定在實(shí)數(shù)域內(nèi)考察這些函數(shù)的漸進(jìn)級(jí)數(shù)，同樣需要注意可能存在因取主值不恰當(dāng)而導(dǎo)致的常數(shù)和正負(fù)號(hào)增減問(wèn)題。如：

????????實(shí)際上，觀眾同學(xué)可以利用手里的軟件畫(huà)出來(lái)這些函數(shù)曲線，這樣能夠更加直觀地理解級(jí)數(shù)收斂的含義。

附兩個(gè)證明：

????????1、重要引理：

其中C為包圍原點(diǎn)的正向(逆時(shí)針)簡(jiǎn)單閉曲線。

證明 若n=0,1,2,…，那么被積函數(shù)就是復(fù)平面上的解析函數(shù)，于是結(jié)果為0。

????????若n=-1,-2,…，我們先將積分路線C做個(gè)變形

取一個(gè)圓E: |z|=r，且圓E在曲線C包圍的范圍之內(nèi)。再如圖任取兩條曲線連接曲線C和圓E。這樣就出現(xiàn)了兩個(gè)新的簡(jiǎn)單正向閉路，把圖中的上半閉路記為C1，下半閉路記為C2。這樣就有C1+C2=C+E-，其中E-為E的負(fù)向，等價(jià)于C=C1+C2+E。而函數(shù)z?在除原點(diǎn)外處處解析，于是其對(duì)閉路C1, C2的積分結(jié)果都是0，就有

這個(gè)定理可推廣到包含有限多個(gè)奇點(diǎn)的情況，叫做閉路變形定理。就是說(shuō)，在解析區(qū)域內(nèi)，閉路積分路徑可以任意改變。

????????設(shè)z=re^(iθ)，于是

????????若n≠-1，則

????????若n=1，則

????????引理證完。

?

????????2、留數(shù)基本定理：設(shè)亞純函數(shù)f(z)在簡(jiǎn)單正向閉路C上處處解析，C包圍的區(qū)域內(nèi)只有有限個(gè)奇點(diǎn)z1, z2,…, zn，則有

證明 對(duì)簡(jiǎn)單正向閉路C做亞純函數(shù)f(z)的積分，應(yīng)用剛才證出的引理有

其中Ck為圍繞奇點(diǎn)zk鄰域的簡(jiǎn)單正向閉路。定理證完。