【種花家務(wù)·代數(shù)】2-3-09用加減消元法解三元一次方程組『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

2023-12-01 15:39 作者:山嵓 0人讀過(guò) | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開(kāi)課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開(kāi)課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

第三章一次方程組?

§3-9用加減消元法解三元一次方程組

【01】用加減消元法解三元一次方程組的方法，和解二元一次方程組的方法一樣，所不同的，只是先消去一個(gè)未知數(shù)，使三元一次方程組變成二元一次方程組?，F(xiàn)在看下面的例題。

例1.解方程組：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D3x%2B2y%2Bz%3D14%2C%26(1)%5C%5Cx%2By%2Bz%3D10%2C%26(2)%5C%5C2x%2B3y-z%3D1.%26(3)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【分析】先消去 z，得出只含有 x，y 的二元一次方程組。因?yàn)?1)和(3)以及(2)和(3)中 z 的系數(shù)都分別是相反的數(shù)＋1 和－1，所以只要把(1)和(3)相加，(2)和(3)相加，就可以消去 z? 。

【解】

????????(1)＋(3)：5x＋5y＝15，就是 x＋y＝3……(4)

????????(2)＋(3)：3x＋4y＝11……(5)

????????解(4)和(5)組成的二元一次方程組，得 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D1%2C%5C%5Cy%3D2.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

????????以 x＝1，y＝2 代入(2)，得 1＋2＋z＝10，∴ z＝7? 。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D1%2C%5C%5Cy-2%2C%5C%5Cz%3D7.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 檢驗(yàn)從略。

【說(shuō)明1】要消去一個(gè)未知數(shù)，可以利用已知三個(gè)方程中的任意兩個(gè)，只要選擇運(yùn)算比較簡(jiǎn)便的。本題中，如果消去 x 或者 y，顯然就比較麻煩。

【說(shuō)明2】在解方程過(guò)程中，如果方程的各項(xiàng)系數(shù)有公約數(shù)時(shí)，可以約簡(jiǎn)，免得運(yùn)算復(fù)雜。如本題中，5x＋5y＝15，就應(yīng)該約簡(jiǎn)成 x＋y＝3? 。

【說(shuō)明3】求得兩個(gè)未知數(shù)的值后，可以把這兩個(gè)未知數(shù)的值代入已知三個(gè)方程中的任意一個(gè)，只要選擇系數(shù)比較簡(jiǎn)單的，使計(jì)算簡(jiǎn)便。如本題中，以 x＝1，y＝2 代入(1)，那末3＋4＋z＝14，同樣可以得出 z＝7? 。

例2.解方程組：

$%0A%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%262x%2B6y%2B3z%3D6%2C%26%5Ctext%7B(1)%7D%5C%5C%263x%2B15y%2B7z%3D6%2C%26%5Ctext%7B(2)%7D%20%5C%5C%264x-9y%2B4z%3D9.%26%20%5Ctext%7B(3)%7D%20%20%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%0A$

【解】先消去 x? 。

????????解(4)和(5)組成的二元一次方程組，得 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dy%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5C%5Cz%3D-2.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

????????以 y＝1/3，x＝－2 代入(1)，得 2x＋2－6＝6，∴ x＝5? 。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D5%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5C%5Cz%3D-2%2C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 檢驗(yàn)從略。

例3.解方程組：

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7Dx%2By%3D20%2C%26%26(1)%5C%5Cy%2Bz%3D19%2C%26%26(2)%5C%5Cx%2Bz%3D21.%26%26(3)%5Cend%7Bcases%7D$

【分析】這個(gè)題目，用代入法或者加減法都可以解?，F(xiàn)在介紹另一種解法。

【解】因?yàn)樵匠探M里 x，y，z 的系數(shù)都相同，

????????所以(1)＋(2)＋(3)：2(x＋y＋z)＝60，∴ x＋y＋z＝30……(4)

????????(4)－(1)：z＝10? 。

????????(4)－(2)：x＝11? 。

????????(4)－(3)：y＝9? 。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D11%2C%5C%5Cy%3D9%2C%5C%5Cz%3D10.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 檢驗(yàn)從略。

習(xí)題3-9

用加減法解下列各方程組：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%2B2y%2B3z%3D11%2C%5C%5Cx-y%2B4z%3D10%2C%5C%5Cx%2B3y%2B2z%3D2%2C%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%262.%5Cbegin%7Bcases%7D7x%2B6y%2B7x%3D100%2C%5C%5Cx-2y%2Bz%3D0%2C%5C%5C3x%2By-2z%3D0%2C%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%263.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7By%7D%7B3%7D-z%3D4%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Bx%7D%7B3%7D-%5Cdfrac%7By%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D%3D3%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7By%7D%7B3%7D-%5Cdfrac%7Bx%7D%7B4%7D%3D3%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%264.%5Cbegin%7Bcases%7D2x-7y%3D-10%2C%5C%5C9y%2B4z%3D18%2C%5C%5C11x%2B8z%3D-19.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%265.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%2By%3D27%2C%5C%5Cy%2Bz%3D33%2C%5C%5Cx%2Bz%3D30.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%266.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Bx%7D%7B7%7D%3D%5Cdfrac%7By%7D%7B10%7D%3D%5Cdfrac%7Bz%7D%7B5%7D%2C%5C%5C2x%2B3y%3D44.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%267.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%2By%2Bz%2Bu%3D11%2C%5C%5Cx%2B2y%2B3z%2B4u%3D34%2C%5C%5C2x%2B3y%2B4z%2Bu%3D25%2C%5C%5C3x%2B4y%2B2z%2Bu%3D22.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

[提示：第6題，可以把第一個(gè)方程寫成兩個(gè)二元一次方程。第7題，先消去其中一個(gè)未知數(shù)，得出一個(gè)三元一次方程組]

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-41%2C%5C%5Cy%3D5%2C%5C%5Cz%3D14%3B%5Cend%7Bcases%7D2.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D3%2C%5C%5Cy%3D5%2C%5C%5Cz%3D7%3B%5Cend%7Bcases%7D3.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D12%2C%5C%5Cy%3D6%2C%5C%5Cz%3D4%3B%5Cend%7Bcases%7D4.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-5%2C%5C%5Cy%3D0%2C%5C%5Cx%3D4%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%265.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D12%2C%5C%5Cy%3D15%2C%5C%5Cz%3D18%3B%5Cend%7Bcases%7D6.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D7%2C%5C%5Cy%3D10%2C%5C%5Cz%3D5%3B%5Cend%7Bcases%7D7.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D1%2C%5C%5Cy%3D2%2C%5C%5Cz%3D3%2C%5C%5Cu%3D5.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

標(biāo)簽：

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【種花家務(wù)·代數(shù)】2-3-09用加減消元法解三元一次方程組『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

習(xí)題3-9