無論對于概率性還是非概率性的問題，所有的科學(xué)分析在探索未知的過程中通常都需要建立參數(shù)之間的某種因果關(guān)系，即某個(gè)參數(shù)的變化導(dǎo)致另一個(gè)參數(shù)發(fā)生變化。這種參數(shù)（parameter）又稱變量（variable）。本文將分析解釋變量和響應(yīng)變量，幫助您更好理解試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的變量關(guān)系。

對于數(shù)學(xué)函數(shù)y=f(x)，x稱為自變量或獨(dú)立自變量（independent variable），y稱為因變量（dependent variable），這是因?yàn)閤值的變化通過某種函數(shù)關(guān)系導(dǎo)致y的值發(fā)生變化。實(shí)際上，在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，大量的因果關(guān)系并不能用函數(shù)形式或某種數(shù)學(xué)顯式形式表現(xiàn)出來，但在變量之間確實(shí)是仍然存在關(guān)聯(lián)的。自變量又稱為解釋變量（explanatory variable）或預(yù)測變量（predictor variable）。因變量又稱為響應(yīng)變量（response variable）或結(jié)果變量（outcome variable）。所謂的解釋變量，其含義為該變量的值的變化能夠“解釋”響應(yīng)變量的值發(fā)生的變化。表達(dá)解釋變量與響應(yīng)變量之間關(guān)系的最簡單方式是采用散點(diǎn)圖（scatter plot），將解釋變量放在橫軸（x軸），而將響應(yīng)變量放在縱軸（y軸），觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布是否呈現(xiàn)某種明顯的規(guī)律或相關(guān)性。

人們之所以經(jīng)常采用“解釋變量”而非“獨(dú)立自變量”來稱呼自變量的原因是雖然有些自變量是獨(dú)立的，但有些自變量是非獨(dú)立的（即存在某種依變關(guān)系）。例如，漢堡包和可樂的攝入量作為兩個(gè)自變量，都可以影響體重，但是漢堡包和可樂之間在某些研究情況下是存在一定的依變關(guān)系而并不完全獨(dú)立無關(guān)的。例如，購買了漢堡包的人習(xí)慣于再購買一瓶可樂。如果研究的目標(biāo)參數(shù)（因變量）是體重，那么漢堡包和可樂的攝入量都是自變量。在這種情況下，將漢堡包和可樂都稱為解釋變量比稱為獨(dú)立自變量要更加合理和準(zhǔn)確。但是，如果研究的目標(biāo)參數(shù)改為可樂，那么問題的構(gòu)造可以改變?yōu)椋簼h堡包是自變量，而可樂是因變量。簡而言之，解釋變量是原因，響應(yīng)變量是結(jié)果。

與解釋變量之間的非獨(dú)立關(guān)系（即依變關(guān)系）所不同的另一種關(guān)系是解釋變量之間的相互作用（interaction）。如果響應(yīng)變量相對于第一個(gè)解釋變量的變化程度取決于第二個(gè)解釋變量的取值，那么就稱這兩個(gè)解釋變量之間存在相互作用。反之，如果無論第二個(gè)解釋變量的取值如何，響應(yīng)變量相對于第一個(gè)解釋變量的變化程度都是一樣的，那么就稱這兩個(gè)解釋變量之間不存在相互作用。例如，某種化肥和某種添加劑都對農(nóng)作物的產(chǎn)量有影響，而化肥和添加劑是互相獨(dú)立的解釋變量；當(dāng)添加劑的用量是1千克時(shí)，將化肥的用量從10千克增加到20千克，導(dǎo)致農(nóng)作物產(chǎn)量從1噸增加到1.2噸，即增加了0.2噸。然而，當(dāng)添加劑的用量是2千克時(shí)，將化肥的用量仍然從10千克增加到20千克，卻導(dǎo)致農(nóng)作物產(chǎn)量從1.1噸猛增到1.7噸，即增加了0.6噸。這時(shí)，化肥用量和添加劑用量就稱為具有相互作用。

研究這類參數(shù)之間依變關(guān)系的學(xué)科稱為試驗(yàn)設(shè)計(jì)（Design of Experiments，簡稱DoE）。在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，解釋變量被稱為因子（factor），而響應(yīng)變量被簡單地稱為響應(yīng)（response）。試驗(yàn)設(shè)計(jì)包括單因子問題、多因子問題、單響應(yīng)問題、多響應(yīng)問題等。變量按照是否具有隨機(jī)性質(zhì)分為確定性（deterministic）變量和概率性（probabilistic）變量。確定性因子的離散取值稱為水平值（level）。

如果因子與響應(yīng)之間能夠用具有物理意義的數(shù)學(xué)關(guān)系來描述，就稱這種關(guān)系為物理模型，例如立方體的體積等于底面積乘以高度。如果因子與響應(yīng)之間的關(guān)系極為復(fù)雜，以至于不能用具有物理意義的數(shù)學(xué)模型來描述，那么就需要采用數(shù)據(jù)擬合（又稱回歸）的方式建立某種關(guān)聯(lián)，例如顯式的多項(xiàng)式擬合模型或隱式的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。多項(xiàng)式擬合模型稱為擬合器（emulator）或響應(yīng)曲面模型（response surface model）。

試驗(yàn)設(shè)計(jì)包括全析因設(shè)計(jì)和部分析因設(shè)計(jì)。物理模型的建立是不需要試驗(yàn)設(shè)計(jì)的，因?yàn)槲锢砟Ｐ褪腔谝蜃优c響應(yīng)之間的理論關(guān)系推導(dǎo)出來的。然而，響應(yīng)曲面模型需要依靠試驗(yàn)設(shè)計(jì)來建立。當(dāng)因子的數(shù)量為2或3，而且當(dāng)因子的水平值是2或3時(shí)，由于因子的全部取值組合情形的數(shù)目不大，可以使用全析因設(shè)計(jì)。以3水平和3因子為例，因子記為x1、x2、x3，水平值假設(shè)為-1、0、1，那么因子的全部取值組合數(shù)目是27，即3′3′3=27，這就是全析因設(shè)計(jì)。實(shí)際上，在這27個(gè)因子取值組合中，有些組合可以舍去，從而不太影響因子對響應(yīng)之作用的信息完整度，而試驗(yàn)次數(shù)則能夠大幅度減少，例如從27次減少到13次，這就稱為部分析因設(shè)計(jì)。部分析因設(shè)計(jì)的優(yōu)勢在因子或水平值數(shù)量眾多的情況下變得非常明顯和必要。常用的部分析因設(shè)計(jì)方法包括正交設(shè)計(jì)、傳統(tǒng)設(shè)計(jì)、均勻設(shè)計(jì)、拉丁超立方（Latin Hypercube）設(shè)計(jì)。在評價(jià)多項(xiàng)式響應(yīng)曲面模型的準(zhǔn)確度和模型的每一項(xiàng)的重要性時(shí)，可以采用相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)、方差分析、殘差分析等方法。

利用因子和響應(yīng)的數(shù)據(jù)建立起響應(yīng)曲面模型后，可以通過計(jì)算來觀察和預(yù)測因子對響應(yīng)的影響趨勢，而且通常需要尋優(yōu)，即尋找在因子取值是多少時(shí)，響應(yīng)參數(shù)的值達(dá)到最大或最小。因此，試驗(yàn)設(shè)計(jì)往往與優(yōu)化聯(lián)系在一起。在優(yōu)化問題中，存在兩類響應(yīng)變量，一類稱為目標(biāo)響應(yīng)，另一類稱為約束響應(yīng)。很多優(yōu)化問題是帶有等式或不等式約束條件的單目標(biāo)優(yōu)化或多目標(biāo)優(yōu)化問題。

綜上所述，解釋變量和響應(yīng)變量分別對應(yīng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的因子和響應(yīng)。響應(yīng)曲面方法（Response Surface Method，簡稱RSM）是處理這些變量之間關(guān)系的主流分析方法。

更多精彩內(nèi)容，請您持續(xù)關(guān)注英論閣

-END-