例一(易)?

已知函數(shù).

(1).若的最小值為,求的值；

(2).若，證明：函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),且.

本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于嘗試去找，并且發(fā)現(xiàn)之間的關(guān)系。

這道題的基礎(chǔ)是?

課標(biāo)全國(guó)II文 2019.21

?已知函數(shù).證明:

?(1)存在唯一的極值點(diǎn)

?(2)有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)

解：

(1) 求導(dǎo)，得在單調(diào)遞增(增加增)

故 唯一零點(diǎn)使得

為唯一的極值點(diǎn)。

(2)由(1)知 在單減，單增

故 唯一零點(diǎn)使得

故 唯一零點(diǎn)使得

由于,且零點(diǎn)在是唯一的

故.

1,證明零點(diǎn)存在時(shí)需要嚴(yán)格套用零點(diǎn)存在定理。

零點(diǎn)存在定理

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且,則在開區(qū)間上存在零點(diǎn)。

零點(diǎn)存在定理加強(qiáng)條件?

由于零點(diǎn)存在定理不能說(shuō)明零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，只能證明零點(diǎn)的存在性。而一般題目會(huì)要求零點(diǎn)的數(shù)目，因此需要使用零點(diǎn)存在定理加強(qiáng)條件。

(1)，該區(qū)間$(a,b)$函數(shù)單調(diào)，單增或者單減。

(2)，可以找到兩個(gè)具體的函數(shù)值符號(hào)相反。

證明該區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)。

并且這類題目為了保證嚴(yán)謹(jǐn)性，需要找到切實(shí)的兩個(gè)函數(shù)值異號(hào)才可以說(shuō)明，這也是難點(diǎn)。

2，找到兩個(gè)異號(hào)的函數(shù)值

極值點(diǎn)和零點(diǎn)本質(zhì)上都是零點(diǎn)的問(wèn)題，只不過(guò)針對(duì)的對(duì)象是導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)。

本題好就好在函數(shù)里沒(méi)有未知的參數(shù)，因此所有函數(shù)值都可以具體地表示出來(lái)。

這類題目的關(guān)鍵在于，把握表達(dá)式中最復(fù)雜的部分作為零點(diǎn)結(jié)構(gòu)的一個(gè)主要考慮因素。

因此，該表達(dá)式中的關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)函數(shù)，這也決定對(duì)應(yīng)的了我們猜測(cè)的零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量(以后我們簡(jiǎn)稱為? 零點(diǎn)兩側(cè)變量)的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是的形式，可以從1開始猜。

盡管不能使用兩側(cè)的極限異號(hào)說(shuō)明零點(diǎn)唯一存在（理論可以，做題不行），但是極限的趨向?yàn)槲覀儾聹y(cè)零點(diǎn)兩側(cè)變量提供了重要的判斷方向

例如本題，單調(diào)性分析后可以明白，需要在兩個(gè)單調(diào)性段內(nèi)分別找，趨于零處，趨于無(wú)窮處是關(guān)鍵要找這附近的函數(shù)值。

在趨于零時(shí)，使得函數(shù)變的更負(fù)的原因，動(dòng)力是，因此我們不斷地取趨于0的e指數(shù)，使得負(fù)的趨勢(shì)大于另外的函數(shù)部分。

因?yàn)楸绢}都是具體函數(shù)，不涉及未知參數(shù)，因此比較容易找到點(diǎn)。試幾個(gè)，不斷靠近零即可。

而趨于無(wú)窮時(shí)，主要影響因素是x超過(guò)了lnx，因此不斷帶入大的e指數(shù)冪實(shí)驗(yàn)。

第一次寫有點(diǎn)累，第一節(jié)先到這里，后續(xù)再更，希望大家多多支持。