預(yù)備知識(shí)：

1. 數(shù)列l(wèi)im sin an/an=1，如果lim an=0；

2. 定比分點(diǎn)：在線段P1P2上求一點(diǎn)P，使得由P分成的兩個(gè)有向線段P1P與PP2的量的比為定數(shù)λ（λ不為-1），即P1P/PP2=λ，則P為線段P1P2以λ為定比的分點(diǎn)，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分點(diǎn)公式。
   

3. 矩陣乘法運(yùn)算律——

   a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

   e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

4. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。

5. 矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；

6. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

7. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

8. E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
   

   方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

   方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

9. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。

10. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對稱矩陣。

11. 定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。

12. 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng) 編著）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——

試求下述數(shù)列{an}的斂散性：an=4^n（1-bn）（bn+1=[（1+bn）/2]^（1/2），-1<b1<1）.

解：

1. -1<b1<1，由歸納法：假設(shè)-1<bn<1，0<1+bn<2，0<[（1+bn）/2]^（1/2）<1，即對于任意n，-1<bn<1；

2. 令b1=cos θ，則b2=[（1+cos?θ）/2]^（1/2）=cos?θ/2，……，bn=cos?θ/2^（n-1）；

3. an

   =4^n（1-bn）

   =4^n[1-cos?θ/2^（n-1）]

   =4^n[1-cos?θ/2^（n-1）][1+cos?θ/2^（n-1）]/[1+cos?θ/2^（n-1）]

   =4^n{1-[cos?θ/2^（n-1）]^2}/[1+cos?θ/2^（n-1）]

   =4^n[sin?θ/2^（n-1）]^2/2（cos?θ/2^n）^2

   =2^（2n-1）[sin?θ/2^（n-1）]^2/（cos?θ/2^n）^2

4. lim?an

   =lim?2^（2n-1）[sin?θ/2^（n-1）]^2/（cos?θ/2^n）^2

   =lim{[sin?θ/2^（n-1）]/[θ/2^（n-1）]}^2*lim （2θ^2）/（cos?θ/2^n）^2

   =lim（2θ^2）/（cosθ/2^n）^2

   =2θ^2

   =2arccos?b1.

解析幾何——

例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——

設(shè)三個(gè)非零向量a，b，c等長，且兩兩互相垂直，求證a+b+c與a，b，c所夾之角相等。

解：

1. 三個(gè)非零向量a，b，c等長，且兩兩互相垂直，即|a|=|b|=|c|，ab=bc=ca=0；

2. （a+b+c）a=aa+ab+ac=a^2，同理，（a+b+c）b=b^2，（a+b+c）c=c^2；

3. |a+b+c|

   =[（a+b+c）^2]^（1/2）

   =[（a+b+c）a+（a+b+c）b+（a+b+c）c]^（1/2）

   =（a^2+b^2+c^2）^（1/2）

   =（3|a|^2）^（1/2）

   =3^（1/2）|a|；

4. cos∠（a+b+c，a）

   =（a+b+c）a/|a+b+c||a|

   =a^2/[3^（1/2）|a||a|]

   =3^（-1/2），

   同理，cos∠（a+b+c，b）=3^（-1/2），cos∠（a+b+c，c）=3^（-1/2），

   所以a+b+c與a，b，c所夾之角相等。

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

證明：設(shè)A是n級矩陣，如果AA'=E，那么|A|=1或|A|=-1。

證：

1. AA'=E，則|AA'|=|E|，則|A||A'|=1；

2. |A|=|A'|，則|A|^2=1，即|A|=1或|A|=-1。

到這里！