0.4.5 可降階的二階微分方程

令，方程轉(zhuǎn)化為

先求出，再代入求得.

令，方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程

后續(xù)過程同上。

令，則

原式變?yōu)橐浑A微分方程

后續(xù)過程同上。

0.4.6 常系數(shù)齊次二階線性微分方程

形如

的微分方程，稱為常系數(shù)齊次二階線性微分方程，常系數(shù)指的各項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，齊次指的是等號右邊為0。

方程對應(yīng)的特征方程為

對應(yīng)兩根分別為,.

1. 兩個(gè)不等實(shí)根,，

   
   

2. 兩個(gè)相等實(shí)根，

   
   

3. 一對共軛復(fù)根，

   
   

水平地面上一質(zhì)量為m的物體與彈簧相連，受到彈簧恢復(fù)力，受到地面阻力，其中,為常數(shù)，初始速度，初始位置，求.

由牛頓第二定律：

化簡得

對應(yīng)特征方程的根

1.阻尼較小時(shí)：

代入初始值，得

令

，

則

函數(shù)圖像如圖所示，對應(yīng)阻尼振蕩。

當(dāng)時(shí)，兩根實(shí)部為，，對應(yīng)簡諧振蕩（諧振）。

2.阻尼較大時(shí)：

對應(yīng)圖像：