【種花家務(wù)·代數(shù)】1-5-05通分『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

2023-09-28 22:45 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶猓欢t，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個措手不及。

第五章分式

§5-5通分

1、通分的概念

【01】在演算分?jǐn)?shù)加減法的時候，我們需要把兩個或兩個以上的分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分，使它們變成分母相同而又和原來的分?jǐn)?shù)分別相等的分?jǐn)?shù)。同樣，我們在分式的加減運(yùn)算中，也需要把兩個或兩個以上的分式變成分母相同而又分別與原來的分式相等的分式，便于加減.這種把兩個或兩個以上的分式化成分母相同的過程叫做通分。

2、通分的方法

【02】在算術(shù)里，通分時要先求出幾個分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)，作為這兒個分?jǐn)?shù)的最小公分母，然后應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把每一個分?jǐn)?shù)的分子分母，同乘以一個適當(dāng)?shù)臄?shù)，使變成與原分?jǐn)?shù)相等而以這個最小公分母做分母的分?jǐn)?shù)。

例1.把分?jǐn)?shù) $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B5%7D%7B12%7D%20$ 與 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B7%7D%7B18%7D%20$ 通分。

【解】

????????先求分母 12 與 18 的最小公倍數(shù)：12＝23·3，18＝2·32；∴?12 與 18 的最小公倍數(shù)是22·32＝36? 。這兩個分?jǐn)?shù)的最小公分母是 36? 。

????????其次，應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把兩個分?jǐn)?shù)都變成分母是 36 的分?jǐn)?shù)：

$%5Csmall%5Cfrac%7B5%7D%7B12%7D%3D%5Cfrac%7B5%5Ctimes3%7D%7B12%5Ctimes3%7D%3D%5Cfrac%7B15%7D%7B36%7D%3B%5Cquad%5Cfrac%7B7%7D%7B18%7D%3D%5Cfrac%7B7%5Ctimes2%7D%7B18%5Ctimes2%7D%3D%5Cfrac%7B14%7D%7B36%7D.$

????????分式的通分方法，也是類似的，舉例如下：

例2.把分式? $%5Cscriptsize%5Cfrac5%7B3a%5E2bc%7D%2C%5C%3B%5Cfrac7%7B12a%5E3c%5E2%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7B-3%7D%7B8bc%5E4%7D$ 通分? 。

【解】

????????先求三個分式的分母的最低公倍式。因為三個分式的分母都是單項式，所以從觀察就可以得到它們的最低公倍式是 3·23a3bc?＝24a3bc?，24a3bc? 叫做這三個分式的最簡公分母。

????????然后把三個分式都化到與原來的分式相等而分母等于?24a3bc??的分式，各分式可以同乘以適當(dāng)?shù)囊蚴?，?/p>

???????? $%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cfrac5%7B3a%5E2bc%7D%3D%5Cfrac%7B5%C2%B78ac%5E3%7D%7B3a%5E2bc%C2%B78ac%5E3%7D%3D%5Cfrac%7B40ac%5E3%7D%7B24a%5E3bc%5E4%7D%3B%20%5C%5C%0A%26%5Cfrac7%7B12a%5E3c%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B7%C2%B72bc%5E2%7D%7B12a%5E3c%5E2%C2%B72bc%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B14bc%5E2%7D%7B24a%5E3bc%5E4%7D%3B%20%5C%5C%0A%26%5Cfrac%7B-3%7D%7B8bc%5E4%7D%3D%5Cfrac%7B-3%C2%B73a%5E3%7D%7B8bc%5E4%C2%B73a%5E3%7D%3D%5Cfrac%7B-9a%5E3%7D%7B24a%5E3bc%5E4%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【注】通分是和約分相反的一種變換，約分把分子分母的所有公因式約掉，將分式化成較簡單的形式。通分是把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使較簡單的分式變?yōu)檩^復(fù)雜的形式。約分是對一個分式來說的，通分則總是對兩個或兩個以上的分式來說的。通分和約分的變換過程，都是根據(jù)分式的基本性質(zhì)來進(jìn)行的。我們必須保證每一個分式經(jīng)過變換之后的結(jié)果，與原分式相等。

例3.把分式 $%5Cscriptsize%5Cfrac5%7Ba-3%7D%2C%5C%3B%5Cfrac7%7Ba%2B3%7D$ 通分。

【解】兩個分式的分母都是兩項式，而且沒有公因式。所以這兩個分母的最低公倍式就是它們的積，這個最低公倍式，就是這兩個分式的最簡公分母。

???????? $%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cfrac5%7Ba-3%7D%26%3D%5Cfrac%7B5(a%2B3)%7D%7B%5Cleft(a-3%5Cright)%5Cleft(a%2B3%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B5a%2B15%7D%7B%5Cleft(a-3%5Cright)%5Cleft(a%2B3%5Cright)%7D%3B%5C%5C%5Cfrac7%7Ba%2B3%7D%26%3D%5Cfrac%7B7%5Cleft(a-3%5Cright)%7D%7B%5Cleft(a-3%5Cright)%5Cleft(a%2B3%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B7a-21%7D%7B%5Cleft(a-3%5Cright)%5Cleft(a%2B3%5Cright)%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

【說明】在分式里，分母要盡可能寫成因式相乘的形式，不要乘起來，分子一般可以乘出來。

例4.通分： $%5Cscriptsize%5Cfrac4%7Bx%5E2-9x%2B20%7D%2C%5Cfrac2%7Bx%5E2-11x%2B30%7D$ 。

【解】為了要求這兩個分式的最簡公分母，先要把兩個分式的分母分解因式：

????????x2－9x＋20＝(x－5)(x－4)；x2－11x＋30＝(x－5)(x－6)? 。

????????所以最簡公分母是 (x－5)(x－4)(x－6)? 。通分得

???????? $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%5E%7B2%7D-9x%2B20%7D%20%3D%26%5Cfrac4%7B%5Cleft(x-5%5Cright)%5Cleft(x-4%5Cright)%7D%5C%5C%0A%3D%26%5Cfrac%7B4%5Cleft(x-6%5Cright)%7D%7B%5Cleft(x-5%5Cright)%5Cleft(x-4%5Cright)%5Cleft(x-6%5Cright)%7D%20%0A%5C%5C%3D%26%5Cfrac%7B4x-24%7D%7B%5Cleft(x-5%5Cright)%5Cleft(x-4%5Cright)%5Cleft(x-6%5Cright)%7D%3B%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E2-11x%2B30%7D%3D%26%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cleft(x-6%5Cright)%5Cleft(x-6%5Cright)%7D%5C%5C%0A%3D%26%5Cfrac%7B2%5Cleft(x-4%5Cright)%7D%7B%5Cleft(x-5%5Cright)%5Cleft(x-4%5Cright)%5Cleft(x-6%5Cright)%7D%5C%5C%3D%26%5Cfrac%7B2x-8%7D%7B%5Cleft(x-5%5Cright)%5Cleft(x-4%5Cright)%5Cleft(x-6%5Cright)%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

例5.通分： $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B3%2B2x%7D%7B2-x%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7B2-3x%7D%7B2%2Bx%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7B16x-x%5E2%7D%7Bx%5E2-4%7D$ ? 。

【解】∵ 2－x＝(x－2)，2＋x＝x＋2，x2－4＝(x＋2)(x－2)；它們的最低公倍式是：(x＋2)(x－2)? ?！?

???????? $%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%26%5Cfrac%7B3%2B2x%7D%7B2-x%7D%3D-%5Cfrac%7B2x%2B3%7D%7Bx-2%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cleft(2x%2B3%5Cright)%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%7B%5Cleft(x%2B2%5Cright)%5Cleft(x-2%5Cright)%7D%2C%5C%5C%26%5Cfrac%7B2-3x%7D%7B2%2Bx%7D%3D-%5Cfrac%7B3x-2%7D%7Bx%2B2%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cleft(3x-2%5Cright)%5Cleft(x-2%5Cright)%7D%7B%5Cleft(x%2B2%5Cright)%5Cleft(x-2%5Cright)%7D%2C%5C%5C%26%5Cfrac%7B16x-x%5E2%7D%7Bx%5E2-4%7D%3D-%5Cfrac%7Bx%5E2-16x%7D%7B%5Cleft(x%2B2%5Cright)%5Cleft(x-2%5Cright)%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

【說明】這里分子乘出來較長，不乘出來也可以。在求最簡公分母時，負(fù)號不必引入。

例6.通分： $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B(b-c)(c-a)%7D%2C%5Cfrac%7Bb%2Bc%7D%7B(b-a)(a-c)%7D%2C%5Cfrac%7Ba%2Bc%7D%7B(a-b)(b-c)%7D$ ? 。

【解】分母的最低公倍式是 (a－b)(b－c)(c－a)? 。∴?

???????? $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B%5Cleft(b-c%5Cright)%5Cleft(c-a%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(a%2Bb%5Cright)%5Cleft(a-b%5Cright)%7D%7B%5Cleft(a-b%5Cright)%5Cleft(b-c%5Cright)%5Cleft(c-a%5Cright)%7D%2C%5C%5C%0A%26%5Cfrac%7Bb%2Bc%7D%7B(b-a)%5Cleft(a-c%5Cright)%7D%20%3D%5Cfrac%7Bb%2Bc%7D%7B%5Cleft(a-b%5Cright)%5Cleft(c-a%5Cright)%7D%20%3D%5Cfrac%7B(b%2Bc)(b-c)%7D%7B(a-b)(b-c)(c-a)%7D%2C%20%5C%5C%0A%26%5Cfrac%7Ba%2Bc%7D%7B(a-b)(b-c)%7D%20%3D%5Cfrac%7B(a%2Bc)%5Cleft(c-a%5Cright)%7D%7B(a-b)%5Cleft(b-c%5Cright)%5Cleft(c-a%5Cright)%7D.%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【說明】這里分母的三個因式，可以依照 a,b,c 的輪轉(zhuǎn)次序來排，所以得 a－b，b－c，c－a；也可以按照 a,b,c 先后次序排，就得 a－b，b－c，a－c? 。我們可以按照任一種次序排，但自己心中必須有一標(biāo)準(zhǔn)，前后一致。

例7.通分： $%5Cscriptsize%5Cfrac%20x%7Bx%5E2y-y%5E3%7D%2C%5C%3B%5Cfrac2%7Bxy%2Bx%5E2%7D%2C%5C%3B%5Cfrac3%7Bx%5E2-y%5E2%7D$ 。

【解】先將分母分解因式：

∵

???????? $%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%26x%5E2y-y%5E3%3Dy%5Cleft(x%5E2-y%5E2%5Cright)%3Dy%5Cleft(x%2By%5Cright)%5Cleft(x-y%5Cright)%2C%5C%5C%0A%26xy%2Bx%5E2%3Dx%5Cleft(y%2Bx%5Cright)%3Dx%5Cleft(x%2By%5Cright)%2C%5C%5C%0A%26x%5E2-y%5E2%3D%5Cleft(x%2By%5Cright)%5Cleft(x-y%5Cright)%3B%5Cend%7Baligned%7D$

????????它們的最低公倍式是：xy(x＋y)(x－y)? 。

∴

???????? $%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2y-y%5E3%7D%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7By%5Cleft(x%2By%5Cright)%5Cleft(x-y%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bxy%5Cleft(x%2By%5Cright)%5Cleft(x-y%5Cright)%7D%2C%20%5C%5C%0A%26%5Cfrac%7B2%7D%7Bxy%2Bx%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5Cleft(x%2By%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B2y%5Cleft(x-y%5Cright)%7D%7Bxy%5Cleft(x%2By%5Cright)%5Cleft(x-y%5Cright)%7D%2C%20%5C%5C%0A%26%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%5E%7B2%7D-y%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Cleft(x%2By%5Cright)%5Cleft(x-y%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B3xy%7D%7Bxy%5Cleft(x%2By%5Cright)%5Cleft(x-y%5Cright)%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

習(xí)題5-5

通分：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81%5Cfrac3%7B8x%5E2y%7D%2C%5C%3B%5Cfrac4%7B-12x%5E3yz%5E2%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7B-3%7D%7B20xy%5E3z%7D.%5C%5C%0A%262%E3%80%81%5Cfrac%7B3xy%7D%7B-10a%5E2b%5E3c%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7B7cx%7D%7B-15a%5E3by%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7B4a%5E2c%7D%7B-25b%5E2x%5E2%7D.%5C%5C%0A%263%E3%80%81%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%5E%7B2%7D-b%5E%7B2%7D%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%2Bb%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7B1%7D%7Bb-a%7D.%20%5C%5C%0A%264%E3%80%81%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%5E2-ax%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7B5%7D%7Bx%5E3-a%5E2x%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7B7%7D%7Ba%5E3-ax%5E2%7D.%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81%5Cfrac%7Bx-y%7D%7Bx%5E%7B3%7D%2By%5E%7B3%7D%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7Bx%5E%7B2%7D-xy%2By%5E%7B2%7D%7D.%5C%5C%0A%266%E3%80%81%5Cfrac%20a%7Bb(c-d)%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%20c%7Ba(d-c)%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7B1%2Ba%7D%7Bab%7D.%5C%5C%0A%267%E3%80%81%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%5E2%2Bx-6%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Bx%5E2%2B5x%2B6%7D.%5C%5C%0A%268%E3%80%81%5Cfrac6%7B5x-5%7D%2C%5C%3B%5Cfrac2%7B3x%2B3%7D%2C%5C%3B%5Cfrac4%7Bx%5E2-1%7D.%5C%5C%0A%269%E3%80%81%5Cfrac1%7B%5Cleft(a-b%5Cright)%5Cleft(b-c%5Cright)%7D%2C%5C%3B%5Cfrac1%7B%5Cleft(b-a%5Cright)%5Cleft(c-a%5Cright)%7D.%5C%5C%0A%2610%E3%80%81%5Cfrac%7B1%7D%7Bab(a-b)(c-a)%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7B1%7D%7Bac(a-c)(b-c)%7D.%5C%5C%0A%2611%E3%80%81%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2-y%5E2%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3-y%5E3%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E4-y%5E4%7D.%5C%5C%0A%2612%E3%80%81%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%5E2-x-12%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7Bx%2B3%7D%7Bx%5E2-6x%2B8%7D%2C%5C%3B%5Cfrac%7Bx%2B4%7D%7Bx%5E2%2Bx-6%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

標(biāo)簽：

最美情侣中文字幕电影,在线麻豆精品传媒,在线网站高清黄,久久黄色视频

【種花家務(wù)·代數(shù)】1-5-05通分『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

習(xí)題5-5