機械萬年歷的數(shù)學(xué)原理
話題：#數(shù)學(xué)# #萬年歷#
逢年過節(jié)，人們難免會送一些小禮物，這里面就有一種機械萬年歷，
雖然說是萬年歷，但實際上只有幾十年，可即便如此，也是設(shè)計的非常精妙。
機械萬年歷是月歷。傳統(tǒng)的月歷，是一張以星期為表頭的表格，日期被填入的 5×7 格子中，
這里，不同月份之間，表頭是固定的，變化的是日期位置。日期位置的變化不利于機械實現(xiàn)，于是，我們讓 日期位置不變，反過來，調(diào)整表頭中的星期，得到，
觀察發(fā)現(xiàn)：
若 以大月31天為準（多出來的做冗余量），則 不同月份的日期是同一個4×7格子；
若 將表頭中星期向兩邊無限延伸，則 不同月份 得到的是同一個無線列；
這樣一來，不同月份之間，只是 日期格子 與 星期列 之間的 相對位置 不同而已，接下來需要做的是確定這個 “定位”，也就是 確定 每月1日 是星期幾。
設(shè) A 年的 第一天 是 星期 a，即，
一月1日 是 星期 a；
然后，日期 每 增加7天，星期 又回到 a，也就是 a + 7 ≡ a (mod 7)，而 一月是 31天，于是 可計算出，
二月1日 是 星期 a + (31 ?mod 7) ?= ?a+3 (mod 7)；
接著，可依次算出，
三月1日 是 星期 a+3 + (28 mod 7) = a+3 (mod 7)；
四月1日 是 星期 a+3 + (31 mod 7) ?= a+6 (mod 7)；
五月1日 是 星期 a+6 + (30 mod 7) = a+8 ≡ a+1 (mod 7)；
六月1日 是 星期 a+1 + (31 mod 7) = a+4 (mod 7)；
七月1日 是 星期 a+4 + (30 mod 7) = a+6 (mod 7)；
八月1日 是 星期 a+6 + (31 mod 7) = a+9 ≡ a+2 (mod 7)；
九月1日 是 星期 a+2 + (31 mod 7) = a+5 (mod 7)；
十月1日 是 星期 a+5 + (30 mod 7) = a+7 ≡ a (mod 7)；
十一月1日 是 星期 a + (31 mod 7) = a+3 (mod 7)；
十二月1日 是 星期 a+3 + (30 mod 7) = a+5 (mod 7)；
這樣就得到了一張表：
這里需要注意，以上 考慮的是 平年的情況，若 ?A 是閏年，則 二月 會多1天，這導(dǎo)致 上表 三到十二月 都要向后移動一格，這很不劃算，于是，可以考慮 保持 ?三到十二月 不變 讓 一二月 向前 移動 一格，即，
閏年一月1日 是 星期 a - 1 ≡ a + 6 (mod 7)；
閏年二月1日 是 星期 a+3 - 1 = a + 2 (mod 7)；
因為，只有兩個月發(fā)生改變，沒必要新做一張新表， ?可以用記號標出 加入上表中，于是得到：
至此，我們就確定了任何一年內(nèi)，每個月1日的星期定位，月份表內(nèi)各月的定位固定，不同的是月份表在年份列上的定位。
接下來，我們需要確定每一年第1天的星期，
若 A 是平年，則有 365天，由 356 mod 7 = 1，知道 A+1年的 第1天 是 星期 a+1；
若 A 是潤年，則多 1天，因此 A+1年的 第1天 是 星期 a+2；
于是我們得到：
通過 這個 表，我們可以 將 定位 年份列 的 月份表 就和 定位 星期列 的 日期表 關(guān)聯(lián)起來，以 2023年 為準，有：
我們發(fā)現(xiàn) 月份表每月關(guān)于 年的定位 和 對應(yīng)月 日期表關(guān)于 星期列 的定位 剛好相反，于是可以考慮 中心對稱 圓盤 將 月份表 和 日期表 整合在一起，得到：
另外，無限星期列 可以 通過 圓環(huán) 來實現(xiàn)，然后 圓環(huán)和圓盤 同圓心，以方便定位。為了讓星期首位相連，圓環(huán)分割數(shù)必須是 7 的倍數(shù)，為了能 能容納 下 月份表 和 日期表，圓盤 分割數(shù)必須大于 7 + 7 = 14，因為要對齊定位，圓環(huán) 和 圓盤 分割數(shù) 必須相同，這里選擇 4×7 = 28 的分割方案。
我們的萬年歷，從 2023年 開始，由于 2023年 第一天 是 星期日，將 2023年 與 月份表 一月列 對齊， 將 星期日 與 ?日期表 1日列 對齊，然后按照 逆時針 依次填滿 星期環(huán)列，就得到上圖。這樣，當(dāng)對齊 月份和 年份，日期表 剛好 對于 正確的 星期。
然后，需要將 2023 年之后的年份 填上，由于 星期時逆時針，故 年份 也需要按照 逆時針 排列，于是 就得到上圖。
當(dāng)定位到閏年時，例如：2024年，
這時月份表使用的是潤一月，于是修改年份位置，讓年份 對位「一月」列，這 需要 讓年份位置 從 月表 的 a 列 變?yōu)?a+6列，即，順時針挪6位，這距離不僅有點大，而且 會和該位置 的年份沖突，例如：對應(yīng) 2024年 調(diào)整 后與 2041年 沖突。考慮到 a+6 ≡ a-1 (mod 7) ，于是 ?順時針挪6位 就等于 逆時針挪1位，而剛好 潤年導(dǎo)致 之后有一個空位！
按照這個分析，將所有閏年 都 逆時針挪1位，并標上 閏年標志 以和 閏月匹配，這樣就得到如下結(jié)果：
最后，我們發(fā)現(xiàn)，年份環(huán)列上，還有6個空格，我們需要將 后續(xù) ?2045 - 2050 年補上。為了方便，我們將 2023年的位置 設(shè)為 0，這樣第一個空格位置就是 1，所有空位 為 5y+1。
2045年本來的位置在 2023年位置 0 處，這有沖突需要調(diào)整，由于要保持星期對應(yīng)，故調(diào)整位置必須是 7x+0，于是可列出 不定方程：
7x + 0 = 5y + 1
解方程 得到 ?y=1（x=1），這說明可將 2045年調(diào)整到 第2個空位處。其它年份也可以用類似的方法計算，不過比較麻煩，于是可以反過來，由 空格求出 適合年份，有，
(5×1+1) mod 7 = 6 ? 50
(5×2+1) mod 7 = 4 ?「48」
(5×3+1) mod 7 = 2 ? 47
(5×4+1) mod 7 = 0 ? 45
(5×5+1) mod 7 = 5 ? 49
我們發(fā)現(xiàn)，這 其中 剛好 缺少 偏移 3 這個空位，于是 6 個空格 完美的對應(yīng) 剩下的 6 個年份。按照這個結(jié)果，修改后得到：
這樣，最終我們得到 2023—2050年，機械萬年歷的完整版本。
當(dāng)然，也可以將年份設(shè)計為兩層，這樣可以再 容納 2051—2078年的日歷，大家有興趣不妨試一試！
