每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

崔坤

中國青島即墨，266200，E-mail:cwkzq@126.com

摘要: 數(shù)學(xué)家劉建亞在《哥德巴赫猜想與潘承洞》中說：“我們可以把這個(gè)問題反過來思考, 已知奇數(shù)N可以表成三個(gè)素?cái)?shù)之和， 假如又能證明這三個(gè)素?cái)?shù)中有一個(gè)非常小，譬如說第一個(gè)素?cái)?shù)可以總?cè)?， 那么我們也就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想?！保?直到2013年才有秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德賀歐夫格特徹底證明了三素?cái)?shù)定理。

關(guān)鍵詞:三素?cái)?shù)定理，奇素?cái)?shù)，加法交換律結(jié)合律

中圖分類號(hào)：O156 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

證明：

根據(jù)2013年秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德·賀歐夫格特已經(jīng)徹底地證明了的三素?cái)?shù)定理：

每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和，每個(gè)奇素?cái)?shù)都可以重復(fù)使用。

它用下列公式表示：Q是每個(gè)≥9的奇數(shù)，奇素?cái)?shù)：q1≥3，q2≥3，q3≥3，

則Q=q1+q2+q3 根據(jù)加法交換律結(jié)合律，不妨設(shè)：q1≥q2≥q3≥3，

則Q-3=q1+q2+q3-3 顯見：有且僅有q3=3時(shí)，Q-3=q1+q2，否則，奇數(shù)9，11，13都是三素?cái)?shù)定理的反例。

即每個(gè)大于等于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

推論Q=3+q1+q2，即每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。

我們運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法做如下證明：

給出首項(xiàng)為9，公差為2的等差數(shù)列：Qn=7+2n：{9,11,13,15,17,.....}

Q1= 9

Q2= 11

Q3= 13

Q4= 15

.......

Qn=7+2n=3+q1+q2,(其中奇素?cái)?shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Qn≥9，n為正整數(shù)）

數(shù)學(xué)歸納法：

第一步：當(dāng)n=1時(shí) ，Q1=9 時(shí) ，Q1=9=3+q1+q2=3+3+3成立

第二步：假設(shè) ：n=k時(shí)，Qk=3+qk1+qk2成立。

當(dāng)n=k+1時(shí),Q（k+1）=Qk+2=3+qk1+qk2+2。

此時(shí)有且僅有2種情況：

A情況:qk1+2不為素?cái)?shù)或者qk2+2不為素?cái)?shù)時(shí)，Qk+2=Q（k+1）=5+qk1+qk2

即每個(gè)大于等于11的奇數(shù)都是5+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，

而這個(gè)結(jié)論與“每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和”是等價(jià)的

B情況:

(1)若qk1+2為qk1的孿生素?cái)?shù)P,

則：Qk+2=3+P+qk2,即每個(gè)大于等于11的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

(2) 若qk2+2為qk2的孿生素?cái)?shù)P”,

則：Qk+2=3+P”+qk1，即每個(gè)大于等于11的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n命題均成立，即：每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

結(jié)論：每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，Q=3+q1+q2，（奇素?cái)?shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Q≥9）

例如：任給一個(gè)奇數(shù)：a…3, 其中a為非零自然數(shù)，a…3為n位奇數(shù)(n≥2），

則：a…0是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。

證明：

根據(jù)三素?cái)?shù)定理則有： a…3=q1+q2+q3，其中奇素?cái)?shù)：q1≥3，q2≥3，q3≥3；

根據(jù)加法交換律結(jié)合律， 不妨設(shè)：q1≥q2≥q3≥3，則： a…3-3=q1+q2+q3-3

顯見，有且僅有q3=3時(shí)， 則有：a…3-3=q1+q2，即：a…0=q1+q2

同理可證偶數(shù)：

a…2；

a…4；

a…6；

a…8都是2個(gè)奇素?cái)?shù)之和。

參考文獻(xiàn)：

[1] Major Arcs for Goldbach's Theorem. Arxiv [Reference date 2013-12-18]

[2] Minor arcs for Goldbach's problem．Arxiv [Reference date 2013-12-18]