帕普斯定理與交比不變性

前面的《梅涅勞斯定理》文章中我們提到《球面論》第三冊。梅涅勞斯不加證明的引入了球面交比不變性作為引理。

為了證明這個引理，十世紀的數(shù)學家們使用他們發(fā)現(xiàn)的球面正弦定理證明了該引理。這些都是后話。

關(guān)于平面上的交比不變性，有記錄的最早證明應(yīng)該是公元4世紀，帕普斯在其著作《數(shù)學匯編》中，用于證明帕普斯定理，而引入的一個引理。

公元4世紀，希臘數(shù)學已經(jīng)式微。公元前146年亞歷山大被羅馬人占領(lǐng)，公元后，學者們的興趣轉(zhuǎn)向天文應(yīng)用，這個時期出現(xiàn)梅涅勞斯、托勒密等大師在三角學上有所建樹，理論幾何的活力逐漸凋萎。此時亞歷山大的帕普斯努力總結(jié)數(shù)百年來的前人所取得的成果，避免其失傳。

帕普斯對他那個時代存在的幾何著作綜述評論和指南，其中包括帕普斯自己的著作，寫成八卷的《數(shù)學匯編》。其中應(yīng)用和參考了三十多位古代數(shù)學家的著作，傳播了大批原始命題及其進展、擴展和歷史注釋。由于許多原著已經(jīng)散失，《數(shù)學匯編》便成為了解這些著作的唯一源泉，是名副其實的幾何寶庫。

這里我們就詳細介紹《數(shù)學匯編》中帕普斯是如何證明帕普斯定理的。

帕普斯定理

直線上依次有點，直線上依次有點，設(shè)交于，交于，交于，則共線。

這個定理的證明方法有很多，這里介紹的是最原始的證明。

引理3

如圖，三條共點直線，,和，被兩條直線和相交,其中,則

這里當然是用現(xiàn)在的符號寫的，在帕普斯的數(shù)學匯編中，采用的是如下形式

這里，我們注意到這項，是不是很像現(xiàn)在交比(cross ratio)的形式了。

現(xiàn)在，我們可以將交比,寫成如下形式

容易看出，

因此

引理10

如圖，BE,DH在A出交叉,若，那么和必共線。

引理11

如圖，其中,則

當然帕普斯使用的符號和今天的是有區(qū)別的。

引理12

如圖，,

考慮通過G點的兩條直線，交共點于A的三條直線，由引理3和11，我們有

考慮過D的兩條直線角共點于B的三條直線，我們有

因此，我們有

由引理10，我們知道三點共線。

引理13

引理13，類似于引理12，只不過與相交于點。

證明過程和引理12是類似的。

引理15和引理17

引理15和引理17，是指當為與的交點，那么三點共線。

這個結(jié)論是顯然的。

從這里，我們發(fā)現(xiàn)通過交比不變性證明帕普斯定理是簡單的。

交比

接下來，我們對交比進行說明。

一般情況下，我們對四個共線的點,我們記

注意到，我們?nèi)绻麑?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=AC">,,,看做有向線段。則交比就有了正負。

如果交比

那么，我們稱為調(diào)和點列。

而我們知道調(diào)和點列與二次曲線的極點和極線有著很深的聯(lián)系。而帕普斯定理中的兩條直線可以看做未二次曲線的退化情形，這樣我們就發(fā)現(xiàn)帕普斯定理其實是帕斯卡定理的特殊情形。

而對于二次曲線極點極線的研究，以及帕斯卡定理的研究，使得數(shù)學家們意識到對于二次曲線存在著一種特殊的變換，稱之為配極變換。

這個將導致數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)了數(shù)學中的一個極為重要的概念對偶。