網(wǎng)上有很多0.9循環(huán)等于1的證明。

但是解決一個(gè)錯(cuò)題，不單單需要給出正確答案，還要告訴犯錯(cuò)的人，他們到底錯(cuò)在哪。

討論嚴(yán)格證明的時(shí)候，很多人都會(huì)提到戴德金分割。今天才知道出處是李永樂老師那里。但是我感覺吧，其實(shí)不管是什么證明，討論這個(gè)問題，卻不討論0.9的循環(huán)到底是什么，其實(shí)都是在換一種方式回避問題。

這個(gè)問題的本質(zhì)其實(shí)是，那些不承認(rèn)0.9循環(huán)等于1的人其實(shí)沒有明確0.9的循環(huán)到底是什么意思。

0.9的循環(huán)到底是什么？ 我們把它定義為0.9，0.99，0.999……這個(gè)序列的極限，這點(diǎn)相比相等排和不等派都沒有異議。那么問題就來了，不承認(rèn)的人認(rèn)為，這個(gè)序列的每一項(xiàng)都小于1，所以這個(gè)0.999……這個(gè)數(shù)也就小于1。

錯(cuò)在哪，錯(cuò)在0.999……這個(gè)數(shù)，是這個(gè)序列的極限，而本身其實(shí)并不在這個(gè)序列中。

這很容易理解，就像當(dāng)X趨向無窮時(shí)，1/X的極限是0。但是當(dāng)我這個(gè)說時(shí)，但是完全沒有X等于什么數(shù)的時(shí)候，1/X本身會(huì)等于0的含義在其中，我們都承認(rèn)這個(gè)序列會(huì)趨近0，但是永遠(yuǎn)不會(huì)等于0。

一旦承認(rèn)這一點(diǎn)，這個(gè)0.9循環(huán)和1是否相等就不應(yīng)該再有異議了。

0.9循環(huán)有無窮個(gè)9，所以無論0.9，0.99……的序列有多少項(xiàng)，都只能無限逼近0.9的循環(huán)，但是到不了0.9循環(huán)這個(gè)數(shù)本身。正如這個(gè)序列可以無限逼近1，但是也到不了1。

當(dāng)然，如果你還是需要一個(gè)數(shù)學(xué)證明，由這個(gè)思路也可以給出一個(gè)證明。

0.9，0.99……這個(gè)序列的上確界是1，非常容易證明，也很顯然。同時(shí)0.9，0.99……這個(gè)序列的上確界也為0.9循環(huán)。同樣很容易證明，并且很顯然。那么由上確界的唯一性，這兩個(gè)數(shù)相等。