之前學習了任意 n 等分點的畫法，該方法雖能繪制任意等分點，但對程序作圖不太適合，最近研究發(fā)現(xiàn)，其實有一些更直接的方式來找 n 等分點，其不需要做任何輔助線，只需要做測量即可。

n 等分點，倍增線段

直入主題，有這樣的結論：

任意指向某消失點的線段，它的 n 等分點的位置僅和線段在畫布上的長度，以及線段和消失點在畫布上的距離相關。

假設該線段離消失點較遠的點和消失點的距離為 a，離消失點較近的點和消失點的距離為 b，則該線段的第 i 個 n 等分點和消失點的距離是：

d(n, i, a, b) = nab / (ia + (n - i)b)

比如，當a = 6，b = 2時，它的 2 等分點距離消失點的距離是 2 * 6 * 2 / (6 + 2) = 3，如下圖：

比如，當a = 6，b = 2時，它的三等分點距離消失點的距離分別為 3 * 6 * 2 / (6 + 2 * 2) = 3.6, 3 * 6 * 2 / (2 * 6 + 2) = 2.57，如下圖：

倍增線段，假設該線段離消失點較遠的點和消失點的距離為 a，離消失點較近的點和消失點的距離為 b，則它的倍增點距離該線段離消失點較遠的點的距離為：

d(a, b) = (2a^2 - 2ab) / (2a - b)

比如，當a = 5, b = 3時，它的倍增線段距離離消失點較遠的點的距離是 (2 * 5 * 5 - 2 * 5 * 3) / (2 * 5 - 3) = 2.85，如下圖：

n 等分點代碼實現(xiàn)如下：

一個交互式示例

下面是一個利用 p5.js 來展示該算法的交互式示例，可以拖動 A，C 點和兩個消失點，代碼實現(xiàn)就在 html 文件中：

https://v-yop.github.io/file/nsplit.html

證明

因為畫圖麻煩所以這里不畫圖了 w

n 等分點

考慮一個左手坐標系中的三個點 P0，P1，P2，其中P0 = (x, y, z, P1 = (x, y, z + l), P2 = (x, y, z + 2)，相機在原點，viewport 為z=d。

顯然，P0，P1，P2 是同一個線段上 3 個點，P1 為 P0P2 的中點。這三個點向相機方向投影，在 viewport 上分別為P0' = (x * d / z, y * d / z, d), P1' = (x * d / (z + l), y * d / (z + l), d), P2' = (x * d / (z + 2l), y * d / (z + 2l), d)。

現(xiàn)在只看 viewport 這個平面，我們要知道二等分點和線段、消失點的關系，就是要看 |P0’O|，|P1’O|，和 |P2’O| 的關系，其中 |P0’O| 和 |P2’O| 對我們是可知的。這三個點顯然都在一條斜率等于 y / x 的線性函數(shù)上，其中 P0’距原點最遠，P2’最近。

我們能得到|P0'O| = (d / z) * sqrt(x^2 + y^2)，|P1'O| = (d / (z + l)) * sqrt(x^2 + y^2)，|P2'O| = (d / (z + 2l)) * sqrt(x^2 + y^2)，不太容易得到的是，|P1'O| = 2 * |P0'O| * |P2'O| / (|P0'O| + |P2'O|)。

再研究三等分點，增加一個點 P3，使用上面相同的方式，研究|P0'O|, |P1'O|, |P3'O|和|P0'O|, |P2'O|, |P3'O|的關系，其中|P0'O| 和 |P3'O| 對我們是可知的，后面的以此類推。

倍增線段

仍舊是像二等分點一樣，先三個點 P0，P1，P2，但這次可知的是|P0'O| 和 |P1'O|，需要求得 |P2'O|，這里只需要對上面得到的關系 |P1'O| = 2 * |P0'O| * |P2'O| / (|P0'O| + |P2'O|) 化簡一下就能得到結果。