平行四邊形對邊相等且平行

平行四邊形對角相等，鄰角互補

平行四邊形對角線互相平分

幾何語言：

因為AB//CD AD//BC

所以四邊形ABCD是平行四邊行（平行線判定）

因為AB=CD AD=BC

所以四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊相等）

因為<A=<C,<B=<D

所以四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對角相等）

因為OA=OC, OB=OD

所以四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分）

一組對邊平行且相等也可以判定這個四邊形是平行四邊形

因為四邊形ABCD為平行四邊形

所以AD＝BC＝12

角ADB＝角DBC

又因為OA等于二分之一AC

所以AO＝13

在RT△ADO中

OD＝根號下AO的平方-AD的平方

＝5

所以DB＝10

在RT△ADB中

AB＝根號下AD的平方+BD的平方

＝根號下144+100

＝根號下244

＝2倍根號61

S平行四邊形ABCD＝2倍S△ADB

＝240

????18.2.2.1菱形◇的性質(zhì)

1.◇的對角線相等；

2.◇的對角線互相垂直，且每一條對角線都平分一組對角。

3.平行四邊形一組鄰邊相等得到◇；

平行四邊形一個角是直角得到矩形。

（聲明：4、5兩點為矩形與◇的比較）

4.矩形和◇都是軸對稱圖形。

5.矩形的四個角是直角（相等），而◇是四條邊相等；矩形的對角線相等，而◇的對角線互相垂直。

6.解有關(guān)◇的題目的方法：

（1）將◇轉(zhuǎn)化為△。

（2）將△轉(zhuǎn)化為等腰△或直角△。

（3）再將等腰△轉(zhuǎn)化為等邊△。

（60°，AB＝BD）

（4）有時轉(zhuǎn)化為直角△，利用有關(guān)直角△的定理進行解決問題。

7.◇的面積公式：對角線乘積的一半。

18.2.2.2菱形◇的判定

1.◇的判定：

（1）對角線互相垂直的平行四邊形是◇。

（2）四條邊相等的四邊形是◇。

二次根式:

一般的，我們把√a（a≥0）的式子叫做二次根號

“√”成為二次根號

注:

被開方數(shù)a≥0

二次根式{

根指數(shù)為2

算術(shù)平方根的性質(zhì):

正向運用:（√a）2=a（a≥0）去根號的方法

逆向運用:a=（√a）2（a≥0）

把一個非負數(shù)或非負的式子寫成完全平方式的形式

運用:√a2=a（a≥0）

性質(zhì)推廣：√a2=|a|

由基本運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來得到的式子叫代數(shù)式

二次根號的乘除

乘法:

一般的有√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）

二次根式與二次更式相乘，等于被開方數(shù)相乘的算數(shù)平方根

反之：√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）

注：本章中，若沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù)

除法：

一般的有√a/√b=√a/b（a≥0，b≥0）

二次根式與二次根式相除，等于各被開方數(shù)相除的算數(shù)平方根

反之：√a/b=√a/√b（a≥0，b≥0）

最簡二次根式：

⒈被開方數(shù)不含分母；

⒉被開方數(shù)中不得含有能開得盡方的因數(shù)或因式

化簡過程：分母有理化

化簡依據(jù)：二次根式的乘除運算，二次根式的基本性質(zhì)，分數(shù)的基本性質(zhì)

二次根式的加減

加減方法：將同類二次更實用分配律合并

注：再有理數(shù)范圍IE內(nèi)成立的運算律，在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立。

運算步驟：一化簡、二判斷、三合并

運算依據(jù)：二次根式的性質(zhì)、分配律和整式加減法則

運算的基本思想：把二次根式加減問題轉(zhuǎn)化成整式加減問題

一般的，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式（同類二次根式）進行合并

易錯：化簡（最簡二次根式）和合并（同類二次根式）的環(huán)節(jié)

混合運算：與有理數(shù)、實數(shù)運算一樣，在二次根式混合運算中先乘除，后加減（括號內(nèi)能和并的話先算括號里的獅子）

勾股定理

三邊關(guān)系：等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

直角三角形：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

三邊關(guān)系：a 2＋b2=c2

證明方法：勾股定理的證明方法很多，常見的方法是拼圖

如趙爽弦圖，通過對圖形的切割、拼接，利用面積關(guān)系證明了勾股定理。

用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：

⒈圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會有改變’；

⒉根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理。

其他證明方法：

⒈傳說中的畢達哥拉斯的證法

⒉美國第20任總統(tǒng)加菲爾德的證法

畫圖方法：

⒈利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊

⒉以原點為圓心，以無理數(shù)的斜邊長為半徑畫弧線找到與數(shù)軸的交點，即可在數(shù)軸上找到表示該無理數(shù)的點

注：求點表示的數(shù)時注意畫弧線的起點不從原點起，因而所表示的數(shù)不是斜邊長。

利用勾股定理解決實際問題的一般思路：

⒈正確理解實際問題的題意；

⒉建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

⒊解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；

⒋將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果“翻譯”成實際問題的答案。

勾股定理的逆定理

定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2=c2那么這個三角形是直角三角形

作用：判定一個三角形三邊滿足什么條件時為直角三角形

注：像8,15,17這樣，能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)

對比：

注：任何一個命題都有逆命題；原命題是真命題，其逆命題不一定是真命題。

平行四邊形

平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形

注：平行四邊形的定義既是判定又是性質(zhì)

基本元素：

平行四邊形的性質(zhì)定理：

平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對角線互相平分

距離的概念：

兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離

平行四邊形定理：平行四邊形的對角線互相平分

平行四邊形的判定：

⒈兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

⒉兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

⒊對角線互相平分的四邊形式平行四邊形

⒋一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點，連接DE。像DE這樣，連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線

三角形的中位線定理：

三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

特殊的平行四邊形：

矩形：

定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形

矩形的性質(zhì)：

⒈矩形的四個角都是直角

⒉矩形的對角線相等

由矩形的性質(zhì)可得三角形的一個性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

矩形的判定定理：

⒈對角線相等的平行四邊形是矩形

⒉有三個角是直角的四邊形是矩形

菱形

定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

性質(zhì)：

⒈菱形的四條邊都相等

⒉菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線相等并平分一組對角

判定定理：

⒈對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

⒉四條邊相等的四邊形是菱形

正方形

定義：

⒈有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形

⒉正方形的四條邊都相等，四個角都是直角

注：正方形既是矩形又是菱形

性質(zhì)：

⒈正方形的四個角都是直角

⒉正方形的對角線相等

⒊正方形的四條邊都相等

⒋正方形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

注：正方形既有 矩形的性質(zhì)又有菱形的性質(zhì)

判定：

1.對角線相等的菱形是正方形。

2.有一個角為直角的菱形是正方形。

3.對角線互相垂直的矩形是正方形。

4.一組鄰邊相等的矩形是正方形。

5.一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。

6.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形。

7.對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形。

8.一組鄰邊相等，有三個角是直角的四邊形是正方形。

9.既是菱形又是矩形的四邊形是正方形?。

正方形既是中心對稱，圖形也是軸對稱圖形，有四條軸對稱

變量與函數(shù)

量的分類：數(shù)值不斷變換的量→變量

數(shù)值固定不變的量→常量

注：當(dāng)其中一個變量取定一個值時，另一個變量就有唯一確定的值與其對應(yīng)（兩個變量互相聯(lián)系）

1. 函數(shù)的定義：

一般的，在一個變化的過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么x是自變量，y是x的函數(shù)

如果當(dāng)x=a，對應(yīng)的y=b

那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時的函數(shù)值

⒉自變量可以取的數(shù)值范圍叫函數(shù)的自變量取值范圍

⒊用關(guān)于自變量的思想式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，這種式子叫函數(shù)的解析式（如：s=60t）

⒋函數(shù)的三種表示方法：

解析式法、列表法、圖像法

注：確定自變量的取值范圍時，不僅要考慮使函數(shù)關(guān)系式有意義，而且還要注意問題的實際意義

函數(shù)圖象

函數(shù)圖象是坐標平面上以自變量的值為橫坐標、以對應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標的點組成的曲線，函數(shù)圖象直觀的反映了變量之間的對應(yīng)關(guān)系和變化規(guī)律

描點法畫函數(shù)步驟：

1.列表——表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值；

2.秒點——在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各店；

3.連線——按照橫坐標由小到大的順序，把所描出的個點用平滑曲線連接起來。

判斷一個點是否在某個函數(shù)的圖象上：

若一個點的橫、仲坐標滿足某個函數(shù)的解析式，那么這個點就在這個函數(shù)圖象上；若不滿足，則不再。

三種表示方法：

列表法——可以清楚地列出一些自變量和函數(shù)的對應(yīng)值，這會對某些特定的數(shù)值帶來一目了然的效果；

解析式法——可以從數(shù)量關(guān)系的角度明確自變量與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系；

圖象法——可以直觀形象地反映函數(shù)的變化趨勢，而且對于一些無法用解析式表達的函數(shù)，圖象可以充當(dāng)重要角色。

正比例函數(shù)

一般的，如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)

一般的，正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象是一條經(jīng)過原點的直線，稱他為直線y=kx，當(dāng)k>0時，直線y=kx經(jīng)過第三、第一象限，從左向右上升，即隨著x的增大y也增大；當(dāng)k<0時，直線y=kx經(jīng)過第二、第四象限，從左向右下降，即隨著x的增大y反而減小。

畫正比例函數(shù)圖象的簡便方法：

過原點（0,0）和點（1，k）（k是常數(shù)，k≠0）的直線，得到正比例函數(shù)y=kx的圖象（兩點確定一條直線）