矩陣力量：線性代數(shù)全彩圖解+微課+Python編程
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這是一套前所未見(jiàn)的數(shù)學(xué)書(shū)，更是一套具備極高顏值的書(shū)。姜偉生博士自謙“小鎮(zhèn)做題家”，實(shí)際上他是國(guó)際著名金融企業(yè)的金融科技專家。很難想象一位以“術(shù)數(shù)”為業(yè)的金融家具備如此徹底的分享動(dòng)機(jī)，同時(shí)，姜博士有著卓越的藝術(shù)品位和設(shè)計(jì)能力，不僅承擔(dān)了這套書(shū)的精深內(nèi)容，更承擔(dān)了全系圖書(shū)的整體設(shè)計(jì)。希望讀者從枯燥的常規(guī)數(shù)學(xué)書(shū)中解脫出來(lái)，賞心悅目地慢慢走入繽紛的數(shù)學(xué)宇宙。
內(nèi)容簡(jiǎn)介
數(shù)據(jù)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)已經(jīng)深度融合到我們生活的方方面面，而數(shù)學(xué)正是開(kāi)啟未來(lái)大門(mén)的鑰匙。不是所 有人生來(lái)都握有一副好牌，但是掌握“數(shù)學(xué) + 編程 + 機(jī)器學(xué)習(xí)”絕對(duì)是王牌。這一次，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不再是為了考試、分?jǐn)?shù)、升學(xué)，而是投資時(shí)間、自我實(shí)現(xiàn)、面向未來(lái)。為了讓大家學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，甚至愛(ài)上數(shù)學(xué)， 在創(chuàng)作這套書(shū)時(shí)，作者盡量克服傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教材的各種弊端，讓大家學(xué)習(xí)時(shí)有興趣、看得懂、有思考、更自信、用得著。
鳶尾花書(shū)有三大板塊——編程、數(shù)學(xué)、實(shí)踐。數(shù)據(jù)科學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)的各種算法離不開(kāi)數(shù)學(xué)，本冊(cè)《矩陣力量》是“數(shù)學(xué)”板塊的第 2 本，主要介紹常用線性代數(shù)工具。任何數(shù)學(xué)工具想要從一元推廣到多元，比如多元微積分、多元統(tǒng)計(jì)，都繞不開(kāi)線性代數(shù)。
《矩陣力量：線性代數(shù)全彩圖解 + 微課 + Python編程》共 25 章內(nèi)容，可以歸納為 7 大板塊：向量、矩陣、向量空間、矩陣分解、微積分、空間幾何、數(shù)據(jù)?！毒仃嚵α浚壕€性代數(shù)全彩圖解 + 微課 + Python編程》在講解線性代數(shù)工具時(shí)，會(huì)穿插介紹其在數(shù)據(jù)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的應(yīng)用場(chǎng)景，讓大家學(xué)以致用。《矩陣力量：線性代數(shù)全彩圖解 + 微課 + Python編程》讀者群包括所有在工作中應(yīng)用數(shù)學(xué)的朋友，尤其適用于初級(jí)程序員進(jìn)階，大學(xué)本科數(shù)學(xué)開(kāi)竅，高級(jí)數(shù)據(jù)分析師，人工智能開(kāi)發(fā)者。
作者簡(jiǎn)介
姜偉生 博士 FRM。
勤奮的小鎮(zhèn)做題家，熱愛(ài)知識(shí)可視化和開(kāi)源分享。自2022年8月開(kāi)始，在GitHub上開(kāi)源“鳶尾花書(shū)”學(xué)習(xí)資源，截至2023年6月，已經(jīng)分享3000多頁(yè)P(yáng)DF、3000多幅矢量圖、約1000個(gè)代碼文件，全球讀者數(shù)以萬(wàn)計(jì)。
目錄
緒論 1
第1章 不止向量 7
1.1 有數(shù)據(jù)的地方，必有矩陣 8
1.2 有矩陣的地方，更有向量 10
1.3 有向量的地方，就有幾何 12
1.4 有幾何的地方，皆有空間 17
1.5 有數(shù)據(jù)的地方，定有統(tǒng)計(jì) 20
第2章 向量運(yùn)算 23
2.1 向量：多面手 25
2.2 行向量、列向量 27
2.3 向量長(zhǎng)度：模，歐氏距離，L2范數(shù) 31
2.4 加減法：對(duì)應(yīng)位置元素分別相加減 35
2.5 標(biāo)量乘法：向量縮放 36
2.6 向量?jī)?nèi)積：結(jié)果為標(biāo)量 37
2.7 向量夾角：反余弦 43
2.8 余弦相似度和余弦距離 45
2.9 向量積：結(jié)果為向量 47
2.10 逐項(xiàng)積：對(duì)應(yīng)元素分別相乘 50
2.11 張量積：張起網(wǎng)格面 51
第3章 向量范數(shù) 57
3.1 Lp范數(shù)：L2范數(shù)的推廣 58
3.2 Lp范數(shù)和超橢圓的聯(lián)系 61
3.3 L1范數(shù)：旋轉(zhuǎn)正方形 64
3.4 L2范數(shù)：正圓 66
3.5 L∞范數(shù)：正方形 69
3.6 再談距離度量 71
第4章 矩陣 77
4.1 矩陣：一個(gè)不平凡的表格 79
4.2 矩陣形狀：每種形狀都有特殊用途 81
4.3 基本運(yùn)算：加減和標(biāo)量乘法 85
4.4 廣播原則 86
4.5 矩陣乘法：線性代數(shù)的運(yùn)算核心 88
4.6 兩個(gè)視角解剖矩陣乘法 90
4.7 轉(zhuǎn)置：繞主對(duì)角線鏡像 92
4.8 矩陣逆：“相當(dāng)于”除法運(yùn)算 94
4.9 跡：主對(duì)角元素之和 95
4.10 逐項(xiàng)積：對(duì)應(yīng)元素相乘 97
4.11 行列式：將矩陣映射到標(biāo)量值 98
第5章 矩陣乘法 105
5.1 矩陣乘法：形態(tài)豐富多樣 107
5.2 向量和向量 107
5.3 再聊全1列向量 112
5.4 矩陣乘向量：線性方程組 116
5.5 向量乘矩陣乘向量：二次型 120
5.6 方陣乘方陣：矩陣分解 123
5.7 對(duì)角陣：批量縮放 124
5.8 置換矩陣：調(diào)換元素順序 127
5.9 矩陣乘向量：映射到一維 128
5.10 矩陣乘矩陣：映射到多維 130
5.11 長(zhǎng)方陣：奇異值分解、格拉姆矩陣、張量積 133
5.12 愛(ài)因斯坦求和約定 136
5.13 矩陣乘法的幾個(gè)雷區(qū) 138
第6章 分塊矩陣 143
6.1 分塊矩陣：橫平豎直切豆腐 145
6.2 矩陣乘法第一視角：標(biāo)量積展開(kāi) 149
6.3 矩陣乘法第二視角：外積展開(kāi) 150
6.4 矩陣乘法更多視角：分塊多樣化 154
6.5 分塊矩陣的逆 160
6.6 克羅內(nèi)克積：矩陣張量積 160
第7章 向量空間 165
7.1 向量空間：從直角坐標(biāo)系說(shuō)起 166
7.2 給向量空間涂顏色：RGB色卡 178
7.3 張成空間：線性組合紅、綠、藍(lán)三原色 179
7.4 線性無(wú)關(guān)：紅色和綠色，調(diào)不出青色 183
7.5 非正交基底：青色、品紅、黃色 184
7.6 基底轉(zhuǎn)換：從紅、綠、藍(lán)，到青色、品紅、黃色 187
第8章 幾何變換 189
8.1 線性變換：線性空間到自身的線性映射 191
8.2 平移：仿射變換，原點(diǎn)變動(dòng) 195
8.3 縮放：對(duì)角陣 196
8.4 旋轉(zhuǎn)：行列式值為1 200
8.5 鏡像：行列式值為負(fù) 205
8.6 投影：降維操作 207
8.7 再談行列式值：幾何視角 208
第9章 正交投影 215
9.1 標(biāo)量投影：結(jié)果為標(biāo)量 217
9.2 向量投影：結(jié)果為向量 218
9.3 正交矩陣：一個(gè)規(guī)范正交基 222
9.4 規(guī)范正交基性質(zhì) 226
9.5 再談鏡像：從投影視角 229
9.6 格拉姆-施密特正交化 231
9.7 投影視角看回歸 233
第10章 數(shù)據(jù)投影 241
10.1 從一個(gè)矩陣乘法運(yùn)算說(shuō)起 242
10.2 二次投影 + 層層疊加 245
10.3 二特征數(shù)據(jù)投影：標(biāo)準(zhǔn)正交基 249
10.4 二特征數(shù)據(jù)投影：規(guī)范正交基 254
10.5 四特征數(shù)據(jù)投影：標(biāo)準(zhǔn)正交基 259
10.6 四特征數(shù)據(jù)投影：規(guī)范正交基 263
10.7 數(shù)據(jù)正交化 269
第11章 矩陣分解 277
11.1 矩陣分解：類(lèi)似因式分解 278
11.2 LU分解：上下三角 279
11.3 Cholesky分解：適用于正定矩陣 280
11.4 QR分解：正交化 282
11.5 特征值分解：刻畫(huà)矩陣映射的特征 286
11.6 奇異值分解：適用于任何實(shí)數(shù)矩陣 290
第12章 Cholesky分解 295
12.1 Cholesky分解 296
12.2 正定矩陣才可以進(jìn)行Cholesky分解 297
12.3 幾何角度：開(kāi)合 299
12.4 幾何變換：縮放 → 開(kāi)合 302
12.5 推廣到三維空間 305
12.6 從格拉姆矩陣到相似度矩陣 309
第13章 特征值分解 313
13.1 幾何角度看特征值分解 315
13.2 旋轉(zhuǎn) → 縮放 → 旋轉(zhuǎn) 317
13.3 再談行列式值和線性變換 320
13.4 對(duì)角化、譜分解 323
13.5 聊聊特征值 328
13.6 特征值分解中的復(fù)數(shù)現(xiàn)象 330
第14章 深入特征值分解 333
14.1 方陣開(kāi)方 334
14.2 矩陣指數(shù)：冪級(jí)數(shù)的推廣 335
14.3 斐波那契數(shù)列：求通項(xiàng)式 337
14.4 馬爾科夫過(guò)程的平穩(wěn)狀態(tài) 339
14.5 瑞 利商 342
14.6 再談橢圓：特征值分解 346
第15章 奇異值分解 353
15.1 幾何視角：旋轉(zhuǎn) → 縮放 → 旋轉(zhuǎn) 355
15.2 不同類(lèi)型SVD分解 359
15.3 左奇異向量矩陣U 360
15.4 右奇異向量矩陣V 363
15.5 兩個(gè)視角：投影和數(shù)據(jù)疊加 365
第16章 深入奇異值分解 369
16.1 完全型：U為方陣 371
16.2 經(jīng)濟(jì)型：S去掉零矩陣，變方陣 372
16.3 緊湊型：非滿秩 373
16.4 截?cái)嘈停航?374
16.5 數(shù)據(jù)還原：層層疊加 375
16.6 估計(jì)與誤差：截?cái)嘈蚐VD 379
16.7 正交投影：數(shù)據(jù)正交化 382
第17章 多元函數(shù)微分 387
17.1 偏導(dǎo)：特定方向的變化率 388
17.2 梯度向量：上山方向 392
17.3 法向量：垂直于切平面 396
17.4 方向性微分：函數(shù)任意方向的變化率 398
17.5 泰勒展開(kāi)：一元到多元 402
第18章 拉格朗日乘子法 407
18.1 回顧優(yōu)化問(wèn)題 408
18.2 等式約束條件 410
18.3 線性等式約束 414
18.4 非線性等式約束 415
18.5 不等式約束 417
18.6 再談特征值分解：優(yōu)化視角 420
18.7 再談SVD：優(yōu)化視角 423
18.8 矩陣范數(shù)：矩陣 → 標(biāo)量，矩陣“大小” 426
18.9 再談數(shù)據(jù)正交投影：優(yōu)化視角 428
第19章 直線到超平面 437
19.1 切向量：可以用來(lái)定義直線 438
19.2 法向量：定義直線、平面、超平面 441
19.3 超平面：一維直線和二維平面的推廣 443
19.4 平面與梯度向量 446
19.5 中垂線：用向量求解析式 451
19.6 用向量計(jì)算距離 453
第20章 再談圓錐曲線 457
20.1 無(wú)處不在的圓錐曲線 459
20.2 正圓：從單位圓到任意正圓 460
20.3 單位圓到旋轉(zhuǎn)橢圓：縮放 → 旋轉(zhuǎn) → 平移 463
20.4 多元高斯分布：矩陣分解、幾何變換、距離 468
20.5 從單位雙曲線到旋轉(zhuǎn)雙曲線 474
20.6 切線：構(gòu)造函數(shù)，求梯度向量 476
20.7 法線：法向量垂直于切向量 479
第21章 曲面和正定性 481
21.1 正 定性 483
21.2 幾何視角看正定性 485
21.3 開(kāi)口朝上拋物面：正定 486
第22章 數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì) 501
22.1 統(tǒng)計(jì) + 線性代數(shù)：以鳶尾花數(shù)據(jù)為例 502
22.2 均值：線性代數(shù)視角 503
22.3 質(zhì)心：均值排列成向量 505
22.4 中心化：平移 508
22.5 分類(lèi)數(shù)據(jù)：加標(biāo)簽 510
22.6 方差：均值向量沒(méi)有解釋的部分 512
22.7 協(xié)方差和相關(guān)性系數(shù) 514
22.8 協(xié)方差矩陣和相關(guān)性系數(shù)矩陣 517
第23章 數(shù)據(jù)空間 523
23.1 從數(shù)據(jù)矩陣X說(shuō)起 524
23.2 向量空間：從SVD分解角度理解 527
23.3 緊湊型SVD分解：剔除零空間 529
23.4 幾何視角說(shuō)空間 532
23.5 格拉姆矩陣：向量模、夾角余弦值的集合體 537
23.6 標(biāo)準(zhǔn)差向量：以數(shù)據(jù)質(zhì)心為起點(diǎn) 540
23.7 白話說(shuō)空間：以鳶尾花數(shù)據(jù)為例 543
第24章 數(shù)據(jù)分解 549
24.1 為什么要分解矩陣？ 550
24.2 QR分解：獲得正交系 555
24.3 Cholesky分解：找到列向量的坐標(biāo) 557
24.4 特征值分解：獲得行空間和零空間 559
24.5 SVD分解：獲得四個(gè)空間 562
第25章 數(shù)據(jù)應(yīng)用 567
25.1 從線性代數(shù)到機(jī)器學(xué)習(xí) 568
25.2 從隨機(jī)變量的線性變換說(shuō)起 572
25.3 單方向映射 574
25.4 線性回歸 578
25.5 多方向映射 582
25.6 主成分分析 584
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前言/序言
Preface
前言
感謝
首先感謝大家的信任。
作者僅僅是在學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)據(jù)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)算法時(shí)，多讀了幾本數(shù)學(xué)書(shū)，多做了一些思考和知識(shí)整理而已。知者不言，言者不知。知者不博，博者不知。由于作者水平有限，斗膽把自己所學(xué)所思與大家分享，作者權(quán)當(dāng)無(wú)知者無(wú)畏。希望大家在B站視頻下方和Github多提意見(jiàn)，讓這套書(shū)成為作者和讀者共同參與創(chuàng)作的作品。
特別感謝清華大學(xué)出版社的欒大成老師。從選題策劃、內(nèi)容創(chuàng)作到裝幀設(shè)計(jì)，欒老師事無(wú)巨細(xì)、一路陪伴。每次與欒老師交流，都能感受到他對(duì)優(yōu)質(zhì)作品的追求、對(duì)知識(shí)分享的熱情
