已知：，

求值：

解：記

注意到：

因此有，即原式=

注釋：

咱說下這個(gè)是怎么分解的。

這個(gè)式子為a、b、c的三次輪換式。當(dāng)時(shí)，

原式=

因此是原式的一個(gè)因式.

由于這個(gè)式子為a、b、c的三次輪換式，b、c也一定是原式的因式，所以原式一定是的常數(shù)倍。四個(gè)小式子各提供一個(gè)，所以分解結(jié)果就是.

提高難度：

已知條件不變，求的值.

將原式乘上便得上面的式，因此

，所求為1.4.當(dāng)然也可以說是通分得到的啦.

【以上這些恐怕還有一丁點(diǎn)正經(jīng)】

看這個(gè)證明：

已知條件不變，判斷a、b、c有幾個(gè)正數(shù)，幾個(gè)負(fù)數(shù).

解：不妨設(shè)，由，可知或

不妨設(shè)，三者積定，記作，與上文同樣，存在“三者都為正數(shù)”或者“第一個(gè)為正數(shù)，后兩個(gè)為負(fù)數(shù)”兩種情況.

假設(shè)這三者都為正數(shù)，那么可以運(yùn)用均值不等式

而上文已知原式值為1.4，這個(gè)值小于，因此不等式一定不成立。假設(shè)不成立。

因此.

假設(shè)，則.

將后兩個(gè)式子相加，得出，即，與假設(shè)矛盾.

綜上討論可知，，也就是，所以a、b、c一正兩負(fù).

均值不等式出來那一刻，您是否兩眼一亮？嘻嘻，接下來我們討論一般情況：

《小試牛刀》

已知：，討論a、b、c有幾個(gè)正數(shù)，幾個(gè)負(fù)數(shù).

解：

一、

記

并且記

注意到：

因此有，即原式=.

不妨設(shè)

這三者的和為，易得積為.

三者積為正數(shù)，意味著有兩種情況：

（1）

（2）

假設(shè)情況1成立，可以運(yùn)用均值不等式：

，即，兩邊立方后，可以因式分解

可以得到，由于，因此.

因此，時(shí)，一定可以推翻情況1.所以，我們已經(jīng)推翻了情況1.

也就是說?

不妨設(shè)，由已知，又有與兩種情況

假設(shè)情況1成立，則

將后兩個(gè)式子相乘，得到

將前兩個(gè)式子、一三兩個(gè)式子相乘，得，由正數(shù)，

可得：.這兩式相加，便得，成功推出矛盾.

綜上討論，我們已經(jīng)證明兩次分類討論的情況1都不成立.

這說明，！也就是，a、b、c一定是一正兩負(fù)！

二、

與上文類似，同理，可以得出答案為兩正一負(fù).由對稱性即可知，感興趣的讀者可以當(dāng)作鞏固題嘗試從頭自己證明一次.

三、

可以得出a、b、c為三負(fù)或者兩正一負(fù).自行嘗試證明.

是不是感覺多次億舉啊哈哈哈哈哈.這個(gè)證明方法，還是挺巧妙的，雖然在這里用處不大。。直接討論應(yīng)該就能解決這個(gè)問題了.