定義5.1 設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)λ和n維非零列向量x使得Ax=λx成立，那么數(shù)λ為A的特征值，x為A對(duì)應(yīng)于λ的特征向量。有（λE-A)x=0

注：n階矩陣在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)特征值

定理5.1 設(shè)λi是n階方陣A的ri重（代數(shù)）特征值，對(duì)應(yīng)λi有si個(gè)（幾何）線性無(wú)關(guān)的特征向量，則1<=si<=ri

定理5.2 設(shè)A為n階方陣，A的n個(gè)特征值為λ1,λ2,...,λn，對(duì)應(yīng)的特征向量為x，又設(shè)

f(λ)=a(s)λ^s+a(s-1)λ^(s-1)+...+a1λ+a0

為一多項(xiàng)式則f(A)的特征值與特征向量不變，f(A)=0,則f(λi)=0

定理5.3 λ是A的互不相同特征值，x為與之對(duì)應(yīng)的特征向量，則x線性無(wú)關(guān)。

定理5.4?

1. 對(duì)角線元素之和等于特征值之和

2. |A|=λ1λ2...λn

3. A^T的特征值還是λ

推論5.1： 0是A的特征值的充要條件是A的行列式為0

定義5.2 設(shè)A，B都是n階方陣，若有可逆矩陣P使(P^-1)AP=B則稱B為A的相似矩陣，P為相似變換矩陣

定理5.5 A與B相似，則A與B特征多項(xiàng)式相同，從而特征值相同。

推論5.2： A與對(duì)角陣D相似，則D對(duì)角線元素為A的特征值

定理5.6 n階方陣A能對(duì)角化的充要條件是A要有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量（P可逆）

若λ互不相等，則A與對(duì)角陣相似

定義5.3 Q^-1=Q^T，則稱Q為正交陣 QQ^T=E

引理5.1：對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)

引理5.2：設(shè)λ1，λ2是對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)特征值，p1，p2是對(duì)應(yīng)的特征向量，若λ1不等于λ2，則p1與p2正交

定理5.7 設(shè)A是方陣，且僅有實(shí)特征值，則存在正交陣Q使得(Q^t)AQ=T

其中，T為一個(gè)上三角矩陣

定理5.8 設(shè)A是一個(gè)方陣

a. 若A對(duì)稱，則存在正交陣Q使得Q^tAQ=diag(d)

（合同對(duì)角化）

b. 若Q^tAQ=D，則A為對(duì)稱矩陣

定義5.5 含有n個(gè)變量x的二次齊次函數(shù)稱為n元二次型

定義5.6 若秩為r的二次型f=x^tAx，通過(guò)可逆線性變換x=Cy，可化為只含平方項(xiàng)的二次型，則該二次型為f的標(biāo)準(zhǔn)形。

定義5.7 C^tAC=B，則A與B合同

變換后，二次型的矩陣A變?yōu)榕cA合同的B，且二次型的秩不變

定義5.8 設(shè)yi=(1/√ki)zi，則標(biāo)準(zhǔn)形可化為規(guī)范形，且唯一。

定義5.8（慣性定理）秩為r的二次型總可以化為標(biāo)準(zhǔn)形，

f=k1y1^2+k2y2^2+...+kpyp^2-...-kryr^2

p為正慣性指數(shù)，r-p為負(fù)慣性指數(shù)

化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法

1. 正交變換法

2. 配方法

定義5.9 恒有f大于或小于0則稱為正或負(fù)定二次型，不嚴(yán)格為半正定或負(fù)定二次型，其余為不定二次型

定理5.10 n元二次型正定的充要條件是f的正慣性指數(shù)為n（A的特征值全部大于零）

定義5.10 順序主子式

定理5.11 等價(jià)命題

1. f為正定二次型

2. p=n

3. λ都大于零

4. 各階順序主子式全大于零（赫爾維茨定理）

等價(jià)結(jié)論

1. 同上

2. 奇數(shù)階順序主子式小于零，偶數(shù)階大于零。

定理5.12 設(shè)m階實(shí)方陣A有m個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量s，

|λ1|>|λ2|>=...>=|λm|

則對(duì)任一的非零初始向量

x0=a1s1+a2s2+...+amsm

則有l(wèi)im(yn)=as1? lim(m(xn))=λ1