第一節(jié) 從物理的角度來了解導(dǎo)數(shù)

????人們最初研究導(dǎo)數(shù)是從各種物理現(xiàn)象開始的，現(xiàn)在我們就先扯扯物理吧o(*￣▽￣*)o

我們都知道這個公式：

? ? ? ?

????這個公式又和導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？我們從研究瞬時速度的表達式說起

????學(xué)過高中物理的人都知道，在x-t坐標(biāo)軸中，斜率表示速度對吧？（廢話啊(o|o) ）

那么，對于x-t坐標(biāo)軸而言，有

? ?? 其實也就是

????我們不是要求瞬時速度喵？現(xiàn)在該怎么辦？

????莫急~就快了

? ??

????你有沒有發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Δt->0的時候，v就是瞬時速度了？沒有？聽我細講~

????當(dāng)時間間隔越來越小，不就越接近于瞬時了？

????因為

????且

????代入，得到

????這個式子樣子已經(jīng)接近于導(dǎo)數(shù)的定義式了，但是我們要求的是瞬時速度

????所以這個時候該怎么？

????當(dāng)然是極限啦！極限大法好極限大法好d=====(￣▽￣*)b

????因為有

????所以取極限，我們就得到

????這就是瞬時速度的表達式了，其實這也是導(dǎo)數(shù)的定義式（不太正式而已hhh）。

第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的定義與公式

一、定義

? ? 由于專欄不支持公式編寫，所以我用word打了一遍

特別的

dy和dx是微分，求導(dǎo)過程也就是微分過程（我們以后見到更多的是微分形式！或許是不用寫極限這個臭長的式子才流行的吧...）

有人說，導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是什么。其實這也不太好解釋，畢竟有好多方面解釋導(dǎo)數(shù)呢。這里我就簡單說說：

導(dǎo)數(shù)本質(zhì)是瞬時變化率，就是Δy/Δx的比值（有人估計到這里還是不太懂）

直白的說，設(shè)函數(shù)g(x)=kx，根據(jù)本質(zhì)是瞬時變化率，而一次函數(shù)的變化率保持不變，那么g'(x)=k.

可以說，在線性函數(shù)中，導(dǎo)數(shù)就是斜率。

如果在曲線函數(shù)，那么導(dǎo)數(shù)就是切線斜率，這個我會在后面解釋

二、公式

這里我就不給證明過程了，太長了（各大教科書都有證明過程的）

為了方便（偷懶），在這里我們用f'(x)=d(f(x))/dx表示

第三節(jié) 求導(dǎo)

在這里，我盡量選擇較簡單的題（以基礎(chǔ)為重）

例題1：已知函數(shù)f(x)=x^3+2x^2+3，求dy/dx

在這里主要是想讓讀者先熟悉微分形式

很明顯，這個是讓你求導(dǎo)的題

我們將使用定義來求導(dǎo)：

首先，取極限

代入f(x+Δx)和f(x)，得

展開，得到

化簡，我們就得到了

約分，得到

現(xiàn)在就簡單了，我們直接使用代入法，最終得到

即

到了這里，我們得到了一個結(jié)論，這個結(jié)論會使你的解題速度加快：

我把這個結(jié)論稱為分別求導(dǎo)原則（只有加減的時候有效）

比如f(x)=x^2+5x

那么f'(x)=2x+5

只要你掌握了公式，這題瞬間就成了口算題

例題2：已知函數(shù)f(x)=(x^2+2x)(x^3+2x)，求f'(x)

很明顯，這里考察的是導(dǎo)數(shù)的乘積法則，我們令

那么

使用公式

即

又因為

代入公式，得到：

多項式展開，得到

這就是答案了

例題3：已知函數(shù)f(x)=(2x^3-3x+1)/(x^5-8x^3+2)，求dy/dx

這里考察的是商法則的運用

這次我們試試如何用微分形式求導(dǎo)

令y=f(x), u=2x^3-3x+1 , v=x^5-8x^3+2

則

根據(jù)商法則的微分形式

其中

到這里，估計有人就看不懂了，這個du/dx究竟是什么東西？！

很簡單，就是u對x求導(dǎo)（可以類比dy/dx）的意思。也就是u是一個新的函數(shù)，自變量仍然是x，而du/dx就是u函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

代入就得到