一、阻尼模型

1. 阻尼的概念

結構系統(tǒng)動力學分析中，特別是動響應分析，阻尼的作用是不可忽略的，由于阻尼的存在，結構系統(tǒng)的模態(tài)特性呈現出復雜性。本文將討論阻尼結構系統(tǒng)的阻尼模態(tài)特性（阻尼模態(tài)理論）。

結構系統(tǒng)在其振動過程中，阻尼的產生有多種原因，來自多個方面，有介質阻尼、材料阻尼、摩擦阻尼以及結構阻尼等。不同類型的阻尼是由不同的機理生成，難以用一個簡單的統(tǒng)一的規(guī)律作綜合的描述。而且它們的阻尼機理也都比較復雜，作用在不同的結構系統(tǒng)有不相同的定量規(guī)律。這樣，阻尼的分析不可能像剛度與慣性那樣通過分析來建立它的特性矩陣，目前只能對具體結構系統(tǒng)作試驗實測，給出它的定量結果。

阻尼從運動角度看，它起阻礙運動的作用，其阻尼力的方向是與運動方向相反。阻尼力大小的具體規(guī)律受多種因素影響，往往需對具體問題作具體分析，且只能突出主要因素通過實驗加以測定。阻尼從能量角度看，它消耗結構系統(tǒng)的能量，其量值可用它在振動一周內所耗散的能量來度量。由于阻尼機理的復雜性，缺乏統(tǒng)一的規(guī)律性，在工程上只能采用簡單模型用能量等價的方法作簡化處理。下面，首先對幾種典型阻尼的機理分別作個簡要介紹。

2. 粘性阻尼模型

結構系統(tǒng)最簡單的一種阻尼模型是粘性阻尼模型，由于它是一種線性阻尼模型，被廣泛應用于結構動力學分析。粘性阻尼的機理是基于在粘性流中流動的物體所受到的一種阻力，它的大小與運動速度成正比，運動速度越大則所受的阻力也越大，它的方向是與速度反向，對于一個質點來說，它粘性阻尼力的數學表達式可寫為：

其中，v是質點的速度，c是介質的粘性阻尼系數。由于粘性阻尼的存在，在運動過程中要耗散能量，它在單位時間內耗散的功率如下：

若結構系統(tǒng)是個連續(xù)系統(tǒng)，在粘性流介質中運動時產生有分布阻尼力。它也用粘性阻尼力的數學表達式表示，所不同的是，它是位置坐標xi的場變量。它所耗散的功率：

D稱之為耗散函數，當結構系統(tǒng)進行離散化后，離散化結構系統(tǒng)的阻尼力列陣是：

它的耗散函數是：

其中，[C] 稱為粘性阻尼矩陣。有限元法主要采用的是這種線性阻尼模型，在以后的分析中若不作特殊說明時，所涉及的阻尼都采用這種粘性阻尼模型。

3. 材料阻尼模型

結構系統(tǒng)的另一種重要阻尼是由材料內阻產生的。結構系統(tǒng)發(fā)生不斷的往復運動時，材料內部阻尼將消耗其機械能，這種材料內阻與材料性能有關，取決于材料的本構關系。材料的彈性性能由虎克定律用下式表示：

材料阻尼所產生的阻尼應力σe認為是與應變率成正比，設其比例系數是g，且阻尼應力的方向與應變率反向，即：

則這種阻尼材料的本構關系是：

這種簡單的材料阻尼模型，稱之為Voigt 模型。設結構系統(tǒng)以頻率ω作簡諧振動，其應變分量也按簡諧規(guī)律變化，即：

則它的總應力是：

其中，復模量

是Voigt 型阻尼材料的復模量。

材料阻尼有多種阻尼模型，它的一種描述形式是用其復模量。它的實部是其彈性性能，它的虛部是其阻尼性能。一種最簡形式是：

但這種形式實用上有非常大的局限性，只適用于單自由度系統(tǒng)作簡諧振動的情況。

目前比較廣泛使用的材料阻尼模型是粘彈性阻尼模型，它是建立在材料的粘彈性本構關系基礎之上的。這種粘彈性材料性能是與其變形歷史有關，且具有漸忘記憶特性。它的本構關系在拉氏域內的描述有與虎克定律相似的形式，即

其中，E(s) 是拉氏域內的復模量，它的一種標準導數模型可用拉氏變量的有理分式給出，即

這種粘彈性阻尼模型的引入是對材料阻尼的一種較好的描述，它給出了阻尼的頻變性能。

4. 摩擦阻尼模型

結構系統(tǒng)是由構件組合而成。各構件之間存在著間隙和摩擦，它們構成摩擦阻尼，在結構系統(tǒng)發(fā)生振動時它要消耗能量。它的一種最簡單的阻尼模型是庫倫摩擦阻尼模型，庫倫摩擦力為：

其中，N是正壓力，μ是摩擦系數，dur/dt是摩擦副之間的相對速度。這是一種常見的阻尼模型，但它是一種非線性阻尼模型，在分析計算中有眾多困難，這里將不作進一步的分析。

為在實際分析中能考慮各類阻尼的耗能作用，可以用當時粘性阻尼來替代。以庫倫摩擦阻尼為例，當結構系統(tǒng)作簡諧振動時，在一個周期內庫倫摩擦力所消耗的功約等于4μNxm，其中，xm是其振幅。而當量粘性阻尼力的功是πcfωxm2。于是，它的當量粘性阻尼系數應是：

這樣，可以近似地將它與粘阻尼系數合并來考慮摩擦阻尼的作用。

二、阻尼結構系統(tǒng)的動力學基本方程

1. 阻尼結構系統(tǒng)的能量分析

粘性阻尼結構系統(tǒng)（以后簡稱為阻尼結構系統(tǒng)）經離散化為有限元模型，它的應變能、動能和外力功分別是：

對于阻尼結構系統(tǒng)，除了上述的三部分能量之外，還有粘性阻尼所消耗的能量，它是用耗散函數公式表示為：

粘性阻尼力{fd} 所消耗的功等于：

于是，阻尼結構系統(tǒng)的哈密爾登作用量原理可表示為

根據阻尼結構系統(tǒng)的哈密爾登作用量原理（上式），從它的駐值條件推出它的拉格朗日(Lagrange) 方程是：

若阻尼結構系統(tǒng)沒有受到外加激勵的作用 (f=0)，則外力功為零，無外界能量輸入，這時將上式前乘{x}?，可以推得：

它說明阻尼結構系統(tǒng)的機械能在無外界能量輸入情況下不斷地被消耗，它隨時間的消耗率等于耗散函數（粘性阻尼所消耗的功率）的二倍。

2. 離散化阻尼結構系統(tǒng)數學模型

將各能量公式代入拉格朗日方程，得離散化阻尼結構系統(tǒng)在位移空間內的動力學基本方程：

它是阻尼結構系統(tǒng)在物理位移空間和時間域內的數學模型，是一種主要形式的數學模型，但在理論分析時，采用更一般形式的狀態(tài)方程將更便于進行分析。下面介紹有關系統(tǒng)、狀態(tài)與狀態(tài)方程的概念。

(1) 系統(tǒng)的概念

系統(tǒng)是一種更為廣泛的概念，反映著某種物理現象，甚至社會現象，表現出輸入與輸出之間的變換關系。就結構系統(tǒng)而言，反映的是一種力學現象，當對結構系統(tǒng)施加某種作用，如施加激勵力{f(t)}，這就是輸入，結構系統(tǒng)就要產生振動，有振動位移{x(t)}（或振動應力{σ(t)}）的出現，這是輸出，它們構成為一個結構動力學系統(tǒng)。

(2) 狀態(tài)向量

對系統(tǒng)的完整描述是它的狀態(tài)向量。所謂狀態(tài)向量，是描述系統(tǒng)狀態(tài)的一組變量{y(t)}，根據狀態(tài)向量的初始值{y(0)} 和以后的輸入{f(t)} 將唯一地確定變量的整個變化歷程。對于結構動力學系統(tǒng)，它的狀態(tài)向量是由位移向量{x(t)}和速度向量{x(t)}所組成。因為在已知輸入的激勵情況下，根據初始位移{x(0)} 與初始速度{x(0)} 可以確定它的整個運動的時間歷程{y(t)}。

(3)狀態(tài)方程

由狀態(tài)變量{y(t)} 描述的系統(tǒng)基本方程稱為狀態(tài)方程，狀態(tài)方程一般地是狀態(tài)變量的微分方程。它給出了系統(tǒng)的輸入與輸出的轉換關系。以最簡單的機械系統(tǒng)為例來說明這個概念。質點動力學的基本方程是牛頓第二定律，即：

（復制以下鏈接到瀏覽器打開，閱讀完整全文）

https://www.fangzhenxiu.com/post/1326286/?inviteCode=z3cyn52KaDHYS

相關閱讀推薦：

《ANSYS Workbench2022R1有限元理論與工程實踐方法120講》（免費）

https://www.fangzhenxiu.com/course/4847416/?uri=499_2zruvSd6QAT