巴黎圣母院的鐘聲迎來(lái)了20世紀(jì). 1900年，人們都把眼光放在未來(lái)：無(wú)產(chǎn)階級(jí)正在組織沸騰的革命，科學(xué)家憧憬著驚人的突破，藝術(shù)家在追逐時(shí)代的潮流??.這一年的8月6日，國(guó)際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)在巴黎召開(kāi).年方38歲的德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特(David Hilbert, 1862~1943)走上講臺(tái),第一句話就問(wèn)道:“揭開(kāi)隱藏在未來(lái)之中的面紗，探索未來(lái)世紀(jì)的發(fā)展前景，誰(shuí)不高興呢?”[1]接著，他向到會(huì)者?也向國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)提出了23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這就是著名的希爾伯特演說(shuō).這一演說(shuō)，成為世界數(shù)學(xué)史上的重要里程碑，為20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展揭開(kāi)了光輝的第一頁(yè)！

　　科學(xué)發(fā)展的每一個(gè)時(shí)代都有自己的問(wèn)題.希爾伯特站在當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)研究的最前沿，高瞻遠(yuǎn)矚地用23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，預(yù)示20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程. 現(xiàn)在，時(shí)光已過(guò)去了一百年，這23個(gè)問(wèn)題約有一半已獲得解決.百年來(lái)，人們把解決希爾伯特問(wèn)題，那怕是其中一部分，都看成是至高無(wú)上的榮譽(yù).據(jù)統(tǒng)計(jì),從1936年至1974年,被譽(yù)為?希爾伯特?cái)?shù)學(xué)諾貝爾(Nobel)獎(jiǎng)的菲爾茲(Fields)國(guó)際數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的20名獲獎(jiǎng)人中，至少有12人的工作與希爾伯特問(wèn)題有關(guān). 1976年美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)組織評(píng)論 1940年以來(lái)的美國(guó)十大數(shù)學(xué)成就，就有三項(xiàng)是希爾伯特問(wèn)題的(1)、(5)、(10)等三個(gè)問(wèn)題的解決. 重要的問(wèn)題歷來(lái)是推動(dòng)科學(xué)前進(jìn)的杠桿之一，但一位科學(xué)家如此自覺(jué)、如此集中地提出一整批問(wèn)題，并且如此持久地影響一門(mén)學(xué)科的發(fā)展，在科學(xué)史上確是罕見(jiàn)的.

　　希爾伯特1862年生于德國(guó)的哥尼斯堡(現(xiàn)為俄羅斯的加里寧格勒). 1884年獲哥尼斯堡大學(xué)博士學(xué)位. 1895年擔(dān)任著名的格丁根大學(xué)教授，直到1943年去世. 他最初的研究領(lǐng)域是代數(shù)不變量和代數(shù)數(shù)論. 1900年前后致力于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——元數(shù)學(xué).后來(lái)又轉(zhuǎn)到分析方面，在積分方程、變分法、泛函分析、理論物理等許多領(lǐng)域作出了杰出的貢獻(xiàn).

　　希爾伯特為發(fā)表1900年的重要演說(shuō)，曾作過(guò)仔細(xì)的準(zhǔn)備. 1899年，第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議的籌備機(jī)構(gòu)邀請(qǐng)希爾伯特在會(huì)上作主要發(fā)言. 希爾伯特接受了邀請(qǐng)，并計(jì)劃在這世紀(jì)交替之際作一個(gè)相稱的發(fā)言. 當(dāng)時(shí)他有兩個(gè)想法：或者作一個(gè)為純粹數(shù)學(xué)辯護(hù)的演講，或者討論一下新世紀(jì)發(fā)展的方向.為此，他寫(xiě)信與他的好友、杰出的數(shù)學(xué)家閔科夫斯基進(jìn)行商量.閔科夫斯基于1900年1月5日回信說(shuō)：“最有吸引力的題材莫過(guò)于展望數(shù)學(xué)的未來(lái)，列出在新世紀(jì)里數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)努力解決的問(wèn)題.這樣一個(gè)題材，將會(huì)使你的講演在今后幾十年的時(shí)間里成為人們議論的話題.”當(dāng)然，閔科夫斯基也指出了作這類預(yù)見(jiàn)性發(fā)言會(huì)遇到的困難.

　　經(jīng)過(guò)一番斟酌，希爾伯特決意選擇第二個(gè)想法，提出一批急需解決的重大數(shù)學(xué)問(wèn)題. 希爾伯特曾指出，歷史上通過(guò)提出問(wèn)題會(huì)導(dǎo)致整門(mén)新學(xué)科的誕生.他舉了三個(gè)典型例子. 第一，伯努利(Bernoulli)最速降落線問(wèn)題是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支——變分法的起源.第二，費(fèi)馬(Fermat)問(wèn)題，它看上去“非常特殊，似乎不十分重要”，卻大大推動(dòng)了代數(shù)數(shù)論的進(jìn)展，現(xiàn)代代數(shù)數(shù)論中的核心概念“理想數(shù)”正是為了解決費(fèi)馬問(wèn)題而提出的.第三，三體問(wèn)題，它對(duì)現(xiàn)代天體力學(xué)起了關(guān)鍵性的作用. 這三個(gè)問(wèn)題，既有純粹從數(shù)學(xué)本身提出的，也有從基本自然現(xiàn)象提出的.希爾伯特提出的問(wèn)題后來(lái)也確實(shí)形成了許多新的數(shù)學(xué)分支，達(dá)到了預(yù)期的目的.

　　對(duì)希爾伯特來(lái)說(shuō)，在國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議上報(bào)告自己的成果，遠(yuǎn)比提出新問(wèn)題要容易得多.當(dāng)時(shí)，希爾伯特正當(dāng)科學(xué)創(chuàng)造活動(dòng)的盛年，業(yè)已作出了許多世所公認(rèn)的成績(jī).人們本來(lái)以為他會(huì)拿出優(yōu)異的數(shù)學(xué)論文來(lái)回答國(guó)際數(shù)學(xué)界，卻沒(méi)有想到他竟會(huì)選擇如此困難的題目來(lái)作講演.希爾伯特接受任務(wù)以后，一直做著仔細(xì)的準(zhǔn)備，直到6月份，他的講演稿還沒(méi)有寫(xiě)出來(lái). 預(yù)定8月在巴黎舉行國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議的日程已發(fā)到代表手中，其中沒(méi)有列入希爾伯特的講演.7月中旬，他才給閔科夫斯基寄去第一稿的樣本.閔科夫斯基和希爾伯特的另一位學(xué)長(zhǎng)和朋友赫爾維茨(Adolf Hurwitz, 1859~1919)對(duì)初稿進(jìn)行研究，幫助希爾伯特作了修改. 如果從1899年底開(kāi)始考慮選題算起，希爾伯特為了提出這23個(gè)題目整整花了8個(gè)月的時(shí)間.

　　希爾伯特的演說(shuō)獲得了極大的成功. 各國(guó)的數(shù)學(xué)雜志紛紛轉(zhuǎn)載他的演說(shuō)稿，大批數(shù)學(xué)家投入解決希爾伯特問(wèn)題的激流中去.問(wèn)題(3)當(dāng)年就被希爾伯特的學(xué)生德恩(Max Wilhelm Dehn, 1878~1952)所解決. 迄今為止，已完滿解決的希爾伯特問(wèn)題約占一半，有幾個(gè)問(wèn)題比較籠統(tǒng)，難以判定解決與否，大約還有三分之一的問(wèn)題仍懸而未決，有的有了部分進(jìn)展，有的則差得很遠(yuǎn). 1975年，在美國(guó)的伊利諾斯大學(xué)召開(kāi)了一次國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議，邀請(qǐng)世界著名數(shù)學(xué)家參加，專門(mén)研究希爾伯特問(wèn)題的進(jìn)展. 會(huì)后出版的論文集詳細(xì)地介紹了各個(gè)問(wèn)題的進(jìn)展.[2]

　　大數(shù)學(xué)家外爾(Claude Hugo Hermann Weyl, 1885~1955)在悼念希爾伯特時(shí)曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“希爾伯特就像穿雜色衣服的風(fēng)笛手，他那甜蜜的笛聲誘惑了如此眾多的老鼠，跟著他跳進(jìn)了數(shù)學(xué)的深河.”[3]對(duì)有志于此的人們來(lái)說(shuō)，這23個(gè)問(wèn)題正是這樣一種甜蜜的笛聲，我們至今似乎仍能聽(tīng)到他的召喚. 值得高興的是，中國(guó)數(shù)學(xué)家在問(wèn)題(8)和問(wèn)題(16)上曾經(jīng)作出一些貢獻(xiàn).

附:?希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題的解決情況

(1)康托爾的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問(wèn)題

　　1874年，康托爾猜測(cè)在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒(méi)有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè). 1938年，僑居美國(guó)的奧地利數(shù)學(xué)家哥德?tīng)?Kurt Godel, 1906~1978)證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和ZF集合公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性. 1963年,美國(guó)數(shù)學(xué)家科恩(Paul Joseph Cohen,1934~ )證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和ZF公理是彼此獨(dú)立的.因此，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用世所公認(rèn)的ZF公理證明其對(duì)錯(cuò). 希爾伯特問(wèn)題(1)在這一意義上已獲解決.

(2)算術(shù)公理的無(wú)矛盾性

　　歐氏幾何的無(wú)矛盾性可歸結(jié)為算術(shù)公理的無(wú)矛盾性.希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明.哥德?tīng)栐?931年發(fā)表不完備性定理加以否定. 1936年根岑(Gerhard Karl ErichGentzen, 1909~1945)在使用超限歸納法的條件下證明了算術(shù)公理的無(wú)矛盾性.

(3)兩個(gè)等底等高四面體的體積相等問(wèn)題

　　問(wèn)題的意思是：存在兩個(gè)等高等底的四面體，它們不可能分解為有限個(gè)小四面體，使這兩組四面體彼此全等. 德恩證明確實(shí)存在著這樣的兩個(gè)四面體(1900).

(4)兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問(wèn)題

　　此問(wèn)題提得過(guò)于一般. 1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波戈列洛夫(Alek-sei Vasiljevich Pogolelov, 1919~ )在對(duì)稱距離情況下給出一種解決此限制的條件. 1973年，波戈列洛夫宣布，在對(duì)稱距離情況下，問(wèn)題獲得解決.

　　(5)一個(gè)連續(xù)變換群的李氏概念，定義這個(gè)群的函數(shù)不假定是可微的

　　這一問(wèn)題簡(jiǎn)稱連續(xù)群的解析性，即是否每一個(gè)局部歐氏群都一定是李群?經(jīng)過(guò)馮·諾伊曼(John von Neumann, 1903~1957)(緊群情形: 1933)、龐特里亞金(Lev Semenovich Pontryagin, 1908~1988)(交換群情形,1939)、謝瓦萊(Claude Chevalley, 1909~1984)(可解群情形, 1941)的努力,于1952年,由格利森(Andrew MatteiGleason, 1921~ )、蒙哥馬利(Deane Montgomery, 1909~1992)、齊平(Leo Zippin, 1905~ )共同解決,得到了完全肯定的結(jié)果.

(6)物理學(xué)的公理化

　　希爾伯特建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演出全部物理.首先在概率論和力學(xué)上取得成功. 1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸驅(qū)⒏怕收摴砘?后來(lái)在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論方面取得了很大成功.但是物理學(xué)是否能全盤(pán)公理化，很多人表示懷疑.

(7)某些數(shù)的超越性

　　問(wèn)題要求證明： 如果α是代數(shù)數(shù)，β是無(wú)理數(shù)的代數(shù)數(shù)， 那么α^β 一定是超越數(shù)或至少是無(wú)理數(shù)（2^(sqrt(2))和?^(π) = ?^(-2 ?)）1934年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家蓋爾豐德(Alexandre Osipovich Gelfond, 1906~1968)證明這是對(duì)的. 1935年,德國(guó)數(shù)學(xué)家施奈德(Theodor Schneider,1911~ )也獨(dú)立地解決了這一問(wèn)題.

(8)素?cái)?shù)問(wèn)題

　　素?cái)?shù)是一個(gè)古老的研究領(lǐng)域.希爾伯特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孿生素?cái)?shù)問(wèn)題.

　　黎曼猜想至今未能解決.哥德巴赫猜想亦未最終解決，中國(guó)陳景潤(rùn)(1933~1996)取得領(lǐng)先地位. 目前孿生素?cái)?shù)的最佳結(jié)果也屬于陳景潤(rùn).

(9)在任意數(shù)域中證明最一般的互反律

　　該問(wèn)題已由德國(guó)數(shù)學(xué)家阿廷(Emil Artin, 1898~1962)基本解決(1927)，但至今仍在繼續(xù)發(fā)展類域理論.

(10)丟番圖(Diophantus,古希臘數(shù)學(xué)家)方程的可解性

　　求出一個(gè)整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖方程可解. 希爾伯特問(wèn)，是否有一種有限步構(gòu)成的一般算法判斷一個(gè)丟番圖方程的可解性? 1959年,美國(guó)數(shù)學(xué)家戴維斯(Martin David Davis,1928~ )、普特南(H. Putnam, 1924~ )、魯賓孫(Julia Bow-man Robinson, 1919~1985)等取得關(guān)鍵性突被,1970年,蘇聯(lián)的馬蒂塞維奇(Juriv Vladimirovich Matijasevich)最終證明,本問(wèn)題的答案是否定的. 盡管結(jié)果是否定的，卻由此產(chǎn)生了一系列很有價(jià)值的副產(chǎn)品，其中不少和計(jì)算機(jī)科學(xué)有密切聯(lián)系.

(11)任意代數(shù)數(shù)系數(shù)的二次型

　　德國(guó)人哈塞(Hermut Hasse, 1898~1979)和西格爾(Carl Lud-wig Siegel,1896~1981)在1920年代獲重要結(jié)果. 1960年代,法國(guó)的韋伊(Andre Weil, 1906~1998)取得了新進(jìn)展.

　　(12)將阿貝爾(Abel)域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去

　　這個(gè)問(wèn)題影響很廣，影響到類域論、群的上同調(diào)方法、L級(jí)數(shù)以及將二次互反律推廣到非交換情形的“朗蘭茲(Langlands)計(jì)劃”.無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家正為此而奮斗.

(13)用兩變量函數(shù)解一般七次方程的不可能性

　　七次方程 x?+ax3+bx2+cx+b+1=0 的根依賴于3個(gè)參數(shù)a、b、c,x=x(a,b,c).這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來(lái)?

　　這一問(wèn)題已接近解決. 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德(Vladimir Igore-vic Arnold, 1937~ )解決了連續(xù)函數(shù)的情形(1957). 1964年維圖什金(Anatolii Georgievich Vituskin,1931~ ) 又推廣到連續(xù)可微函數(shù)情形.如要求解析函數(shù)，則問(wèn)題尚未解決.

(14)某些完備函數(shù)系的有限性的證明

　　這和代數(shù)不變量問(wèn)題有關(guān). 日本數(shù)學(xué)家永田雅宜(MasayosiNagata, 1927~ )給出了漂亮的反例(1959).

(15)舒伯特計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)

　　一個(gè)典型問(wèn)題是： 在三維空間中有四條直線，問(wèn)有幾條直線能和這四條直線都相交?舒伯特(Hermann Casar Hannibal Schu-bert， 1848~1911)給出了一個(gè)直觀解法. 希爾伯特要求將問(wèn)題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ). 現(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)有密切聯(lián)系.

(16)代數(shù)曲線和代數(shù)曲面的拓?fù)鋯?wèn)題

　　這個(gè)問(wèn)題分為兩部分.前半部分涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目.后半部分要求討論dy/dx=Y/X的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)和相對(duì)位置，其中X、Y是x、y的n次多項(xiàng)式. 蘇聯(lián)的彼德羅夫斯基(Ivan Georgievich Petrovsky, 1901~1973)院士曾證明n=2時(shí)極限環(huán)的個(gè)數(shù)不超過(guò)3. 1979年，中國(guó)的史松齡以及王明淑(1931~1984)分別舉出有四個(gè)極限環(huán)的反例.

(17)半正定形式的平方和表示

　　一個(gè)實(shí)系數(shù)n元多項(xiàng)式對(duì)一切數(shù)組(x?，···， xn)都恒大于或等于0，這些多項(xiàng)式是否都能寫(xiě)成平方和的形式?1927年， E.阿廷證明這是對(duì)的.

(18)用全等多面體構(gòu)造空間

　　德國(guó)數(shù)學(xué)家比伯巴赫(Ludwig Georg Elias Moses Bieber-bach, 1886~1982)(1910)、萊因哈特(Reinhardt) (1928)作出部分解決.

(19)正則變分問(wèn)題的解是否一定解析

　　伯恩斯坦(Sergei Natanovich Bernstein, 1880~1968)和彼德羅夫斯基等得出了一些結(jié)果，接近解決.

(20)一般邊值問(wèn)題

　　這一問(wèn)題的進(jìn)展十分迅速，已成為一個(gè)很大的數(shù)學(xué)分支.目前還在繼續(xù)研究.

(21)具有指定單值群的線性微分方程解的存在性證明

　　已由希爾伯特本人(1905)和勒爾(Helmut Rohrl, 1927~ )(1957)、德利涅(Pierre Rene Deligne, 1944~ )(1970)等人所解決.

(22)由自守函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的單值化

　　它涉及艱深的黎曼曲面論, 1907年克貝(Paul Koebe, 1882~1945)在單變量情形獲重要突破，復(fù)變量情形尚未解決.

(23)變分法的進(jìn)一步發(fā)展

　　這不是一個(gè)明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只是談了對(duì)變分法的一般看法.20世紀(jì)變分法有了長(zhǎng)足發(fā)展.

　　從上面的簡(jiǎn)單介紹不難看出，希爾伯特提出的問(wèn)題是相當(dāng)艱深的，一般人簡(jiǎn)直連題目也看不懂. 正因?yàn)槠D深，才吸引有志之士去作巨大的努力.但它又不是不可接近的，因而提供了使人們終有所獲的科學(xué)獵場(chǎng).百年來(lái)，人們始終注視著希爾伯特問(wèn)題的研究，絕不是偶然的.當(dāng)然，預(yù)測(cè)不可能全部符合后來(lái)的發(fā)展. 20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的廣度和深度都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出世紀(jì)之初的預(yù)料，像代數(shù)拓?fù)洹⒊橄蟠鷶?shù)、泛函分析、多復(fù)變量函數(shù)等許多理論學(xué)科都未列入這23個(gè)問(wèn)題，更不要說(shuō)與應(yīng)用有關(guān)的應(yīng)用數(shù)學(xué)以及隨計(jì)算機(jī)出現(xiàn)發(fā)展起來(lái)的計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)了.

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