青雀戰(zhàn)技點(diǎn)消耗數(shù)學(xué)期望的計(jì)算

2023-08-29 10:45 作者:SnakeByFog 0人讀過 | 我要投稿

一、牌型

青雀擁有4張牌時(shí)，一共有4種牌型：

1. AABC????2. AABB????3. AAAB????4. AAAA（開杠）

其中A代指牌型中數(shù)量較多的那種牌，不是特定花色的牌。

青雀摸牌會將牌型往1-2-3-4的方向轉(zhuǎn)化，最終轉(zhuǎn)化為4即開杠（和了）。

二、初始牌型

為方便，我們就大部分實(shí)戰(zhàn)情況進(jìn)行一個(gè)簡單的建模：

假設(shè)青雀隊(duì)伍中四人速度相近，則青雀2個(gè)回合之間其余3人剛好各行動(dòng)一次，

青雀回合開始時(shí)恰好已經(jīng)摸了4張牌，形成一個(gè)初始牌型。

經(jīng)計(jì)算，4種初始牌型的概率分別為：

1.?AABC??4/9? ?2.?AABB? 2/9????3.?AAAB? 8/27????4.?AAAA? 1/27

三、牌型轉(zhuǎn)化

使用一次戰(zhàn)技，每種牌型轉(zhuǎn)化為其它牌型的概率見下表：

由此可見，當(dāng)牌型為?1.AABC 和?2.AABB 時(shí)，使用一個(gè)戰(zhàn)技點(diǎn)，大概率轉(zhuǎn)化為牌型?3.AAAB，

小概率仍然為牌型2（牌型1不會仍然為牌型1），小概率直接開杠。

當(dāng)牌型為?3.AAAB 時(shí)，每次戰(zhàn)技都是在賭略高于一半的概率開杠。

四、戰(zhàn)技點(diǎn)期望（重點(diǎn)）

此時(shí)，我們就可以算出每種牌型轉(zhuǎn)化為牌型4（開杠）消耗的戰(zhàn)技點(diǎn)期望（平均值）。

很有意思的一點(diǎn)是，我最初使用數(shù)列的方法求期望，極其繁瑣，過程冗長。

后來我突然靈機(jī)一動(dòng)，抓住轉(zhuǎn)化關(guān)系列一個(gè)方程，一切問題迎刃而解！妙哉！

最終的結(jié)果如下：

1.?AABC??開杠消耗戰(zhàn)技點(diǎn)期望 2.75? ?2.?AABB??期望 2.475? ??3.?AAAB? 期望 1.8

它們竟然是完美的有限小數(shù)！太美了！

長時(shí)間的努力計(jì)算，最終換來如此完美的結(jié)果，簡直是上天的饋贈！

這個(gè)結(jié)果意味著，當(dāng)你的牌型此時(shí)為1或2時(shí)，最好有3個(gè)戰(zhàn)技點(diǎn)再去賭，2個(gè)也可以搏一搏；

當(dāng)牌型為2時(shí)，最好有2個(gè)戰(zhàn)技點(diǎn)。

最終，使用牌型初始概率對各期望進(jìn)行加權(quán)平均，可以得出：

實(shí)戰(zhàn)中青雀和牌所需的戰(zhàn)技點(diǎn)期望為 83/36 ( 約等于?2.3 )?個(gè) ?。?！

由此可見，6魂的青雀平均每回合僅消耗1.3個(gè)戰(zhàn)技點(diǎn)，和多數(shù)其它主C差異不大。

但這只是理論期望值，由于青雀的機(jī)制帶有極大的隨機(jī)性，實(shí)戰(zhàn)中可能會高血壓。

因此，青雀并不是戰(zhàn)技點(diǎn)消耗大（要求6魂），只是戰(zhàn)技點(diǎn)消耗不穩(wěn)定。

這或許是青雀對比其它主C的一個(gè)缺點(diǎn)。

但，充(dang)滿(yi)隨(ge)機(jī)(du)性(gou)，難道不正是游戲的一大樂趣嗎？

此外，上述計(jì)算只是在正常實(shí)戰(zhàn)情況下，算入了初始的4張牌。

假如因?yàn)槟M宇宙中巡獵再動(dòng)buff或鴨鴨拉條等原因?qū)е虑嗳富睾祥_始時(shí)還未湊齊4張牌，

那么消耗戰(zhàn)技點(diǎn)將大幅增加，這個(gè)需要特別注意。

五、計(jì)算過程

我文章寫到一半才發(fā)現(xiàn)，早已有大佬先于我將青雀耗點(diǎn)期望算出：

我找遍B站和米游社，不少人通過代碼模擬上萬次摸牌得出了青雀耗點(diǎn)期望的近似值（誤差不超過1%），只有這位大佬使用矩陣將精確值算出。作為一名高中牲，我看得一臉蒙。不過我的計(jì)算仍然是有價(jià)值的，因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)了一個(gè)極為巧妙的方法！下面我將介紹我的計(jì)算過程，全部都是我在看其它大佬的方法之前獨(dú)立進(jìn)行的：（這真的可以看作是一道很有意思的數(shù)學(xué)題！）