本集為無窮級數(shù)基本概念、基本命題、基本方法的總結(jié)合集。

安排了較為緊密的銜接，可一條龍學(xué)完級數(shù)。

序：? ? ??

? ? ? 作者主張“理+念化學(xué)習(xí)”——

? ? ? 兩手都抓都硬的任務(wù)是建立健全公理化學(xué)科體系，與樹立恰當(dāng)?shù)木媒?jīng)考驗的學(xué)科觀念或意識（比如整個高等數(shù)學(xué)通用的極限觀、線性觀、邏輯觀、重演觀、配湊觀，還有一些不太通用但也比較重要的觀念，比如“冪為階之準(zhǔn)”。）這兩方面都是優(yōu)良學(xué)科素養(yǎng)的重要組成部分。

無窮級數(shù)與數(shù)列關(guān)系是密切的，級數(shù)就是其項的數(shù)列的求和。

級數(shù)相關(guān)的基本概念：

?????? 級數(shù)理論是分析學(xué)的一個分支；它與另一個分支微積分學(xué)一起作為基礎(chǔ)知識和工具出現(xiàn)在其余各分支中。二者共同以極限為基本工具，分別從離散與連續(xù)兩個方面，結(jié)合起來研究分析學(xué)的對象，即變量之間的依賴關(guān)系──函數(shù)。

基本命題：無窮級數(shù)的性質(zhì)

? ? ? ?其中，一般項趨于0是級數(shù)收斂的必要條件，一般項不趨于零是級數(shù)發(fā)散的充分條件。如果令一般項趨于0成為某個級數(shù)收斂的充要條件，需加裝條件使得一般項趨于0與級數(shù)部分和數(shù)列收斂是等價的才行。比如：

? ? ? ?這個加裝的條件比較特殊，所以性質(zhì)更加優(yōu)良了。加裝適當(dāng)?shù)臈l件會改善級數(shù)的性質(zhì)，我們通常加裝的條件是級數(shù)通項非負(fù)，即“正項級數(shù)”?? 。

基本命題：正項級數(shù)的性質(zhì)：

對于非正項級數(shù)，我們給它取絕對值后即可轉(zhuǎn)換為正項級數(shù)，此時收斂情況稱為絕對收斂。

基本概念：絕對收斂、條件收斂

?????? 絕對收斂是收斂的充分條件，收斂而不絕對收斂的情況為條件收斂。審斂通常審發(fā)散、絕對收斂或條件收斂，單說“收斂”則不夠具體。對于判定條件收斂，必要的手續(xù)是先判定是否為絕對收斂，如果已經(jīng)絕對收斂了，則直接結(jié)束。如數(shù)一1996、二（3）。我畫一張關(guān)系圖：

條件收斂和絕對收斂是互斥事件，不可兼得。

{絕對收斂*&條件收斂}時（*&表示條件摻雜），服從充分性水桶拼接規(guī)則。

要先進(jìn)行審絕對收斂，再審條件收斂，基本方法：審斂的一般流程：

正項級數(shù)的審斂是我們所學(xué)級數(shù)審斂的主流。基本定理：正項級數(shù)收斂定理：

? ? ? ?由上圖知，所謂正項級數(shù)審斂法實質(zhì)是考察部分和數(shù)列有界與否，依據(jù)是基本定理：單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

? ? ? ?通常，題目會給出部分和數(shù)列有界的等價條件，常規(guī)操作是用不等式，這個具體花樣很多，比如基本不等式、其他事情的一些用不等式描述的性質(zhì)。

介紹正項級數(shù)的三種常用審斂法（我將積分審斂法歸結(jié)為一種特殊的比較審斂法）

? ? ? ?對于正項級數(shù)的比較審斂法，使用宜事先建立健全常用來進(jìn)行比較的斂散性已知的正項級數(shù)庫、對待比較的正項級數(shù)進(jìn)行模式識別或庫內(nèi)匹配，對于庫中應(yīng)裝備哪些呢？——基本結(jié)論：常用來進(jìn)行比較的正項級數(shù)

“準(zhǔn)p級數(shù)”我也把它稱為“r級數(shù)”：

? ? ? ?這個發(fā)散可以推廣到p或r<=1,之所以限制<=0p級數(shù)的p要是等于0，那就是常數(shù)1，要是<0，那就是正冪函數(shù)，肯定發(fā)散，沒有研究的必要?！辔覀冎攸c研究的是負(fù)冪函數(shù)的級數(shù)。

? ? ? ?從該積分審斂法中我們得以加深本集開頭“級數(shù)理論是分析學(xué)的一個分支；它與另一個分支微積分學(xué)一起作為基礎(chǔ)知識和工具出現(xiàn)在其余各分支中。二者共同以極限為基本工具，分別從離散與連續(xù)兩個方面，結(jié)合起來研究分析學(xué)的對象，即變量之間的依賴關(guān)系──函數(shù)?！?/p>

? ? ? 庫已經(jīng)裝備齊全，稍微變態(tài)的級數(shù)但有看起來像是比較友好的廣義積分時，可用積分審斂法，因為不論其為連續(xù)還是離散，同一形式的斂散性是一致的，故我將積分審斂法歸結(jié)為比較審斂法。基本方法：正項級數(shù)的比較審斂法：

? ? ? ?上圖的比較審斂法埋下了比值審斂法的彩蛋，比值審斂法是自審斂，無需借助于其他級數(shù)相比較，比值審斂法與根值審斂法皆為求ρ，

基本方法：比值審斂法、根值審斂法：

?比值審斂法還可能因為比值不存在而失效，而根值則“健壯”一些。這也是根值審斂法比比值審斂法適用范圍更廣之所在。

基本結(jié)論：根值審斂法常用結(jié)論：

根值審斂法在戰(zhàn)術(shù)地位上通常為比值審斂法的補(bǔ)充，比值審斂法還用于交錯級數(shù)的萊布尼茲審斂法中審查絕對值是否遞減。對于交錯級數(shù)，基本方法：萊布尼茲審斂法：

但也有比較法：交錯p級數(shù)的基本結(jié)論：

? ? ? ?交錯p級數(shù)詭異的地方在于級數(shù)重排，絕對收斂可任意重排，而條件收斂時結(jié)果因重排方式而異，比如交錯調(diào)和級數(shù)（p=1）結(jié)果=ln2,一重排結(jié)果可能收斂于別的數(shù)，也可能發(fā)散了。

? ? ? ?在眾多類型的級數(shù)中，最重要的莫過于冪級數(shù)。冪為階之準(zhǔn)，一當(dāng)將階的比較量化為冪次的升降，事情就容易了許多。如果是冪次的級數(shù)，比如著名的泰勒級數(shù)，將某些曲線用冪級數(shù)展開，化曲為直是研究曲線的重要手段。千年以來，人們弄明白了線性是怎么回事，而研究非線性問題的主要手段是將其近似為線性。冪級數(shù)給出了具體是幾階近似的標(biāo)準(zhǔn)。

基本概念：冪級數(shù)的基本概念：

歷史上阿貝爾主張冪級數(shù)展開只在收斂域有效，不能隨便亂用，基本定理：阿貝爾定理：

? ? ? ?根據(jù)阿貝爾定理，若冪級數(shù)不僅收斂于一點，也不在整個數(shù)軸上收斂，則一定收斂于某個區(qū)間，絕對值/距離的形式，決定了該區(qū)間是一個以底數(shù)為0的點中心對稱的（開）區(qū)間。這個區(qū)間的長度即為收斂半徑。至于區(qū)間端點，可能收斂也可能發(fā)散。

基本方法：求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域：

? ? ? ?對于冪級數(shù)，如果缺項的，則直接用上述方法有分母=零的bug。所以可經(jīng)適當(dāng)變形轉(zhuǎn)換為不缺項的比如拆分、變量代換——基本方法：缺項級數(shù)變量代換的比值審斂法

? ? ? ?需平移的話就平移，總之這個事不麻煩，有些麻煩的是冪級數(shù)中各種和函數(shù)和冪級數(shù)展開。兩者是互為逆過程的。Σ分→和叫冪級數(shù)的和函數(shù)，和→Σ分是用冪級數(shù)展開。?

基本方法：求冪級數(shù)的和函數(shù)：

調(diào)用前需建立健全一個常用冪級數(shù)的和函數(shù)公式庫，并對待求和函數(shù)的冪級數(shù)進(jìn)行庫內(nèi)模式識別與匹配。最常見的是泰勒級數(shù)的和函數(shù)，即“泰勒折疊”（反向展開）。對于常見的泰勒級數(shù)的記憶，我寫了另一篇專欄速成搶救：高等數(shù)學(xué)·常見泰勒展開永久性牢記

除了泰勒級數(shù)，還建議加裝逐項求導(dǎo)型基本公式：以等比級數(shù)求和公式為依托，

其收斂半徑或者干脆說公比，都小于1

流程如下：

1. 將Pm(n)配湊成m階導(dǎo)數(shù)形式

2. 平移逆代換

3. 提出x的冪次溢出因子

4. 調(diào)用最底層的功能元——等比級數(shù)的求和公式。

挖坑之處在于首項從何時開始，別弄岔了。?

除了泰勒級數(shù)、等比級數(shù)的逐項求導(dǎo)變式，還要加裝逐項求導(dǎo)再積分的：

總之，求和函數(shù)的方法是建立健全一個強(qiáng)大的模型庫，以令其充當(dāng)功能元（最基礎(chǔ)的功能元是等比級數(shù)，沒有之一）。同時總結(jié)幾種常用的模式識別方法。

對于冪級數(shù)展開，其與求和是逆過程，但模型庫并不用同一套。

基本方法：冪級數(shù)的展開

? ? ? ?拽了點英文……不過應(yīng)該不影響理解。凡是間接的，都是借助于已知的，凡是常用的已知的，就適合事先建庫。學(xué)習(xí)在于建模，最終結(jié)果即為建立強(qiáng)大的模型庫與模式識別本領(lǐng)。

? ? ? ?對于傅里葉級數(shù)，考點一般是狄利克雷收斂定理，小題能考個計算傅里葉系數(shù)，重演最完善的還是下邊這個：

比如將函數(shù)f(x)=10-x在[5<=x<=15]上展成以10為周期的傅氏級數(shù)。先延拓到[-5,5]上，然后再求傅里葉系數(shù)，這是個能求出來的分部積分，而且這個奇函數(shù)沒有偶函數(shù)分量，所以這一個題重演得比較完善，能一舉考好幾個知識點。

但后來它非主流了，近幾年都沒有出現(xiàn)。

本集完~