考慮這樣一個現(xiàn)實的問題:

碧藍(lán)檔案的總力戰(zhàn)中，每個人每天有3次機(jī)會打總力戰(zhàn)，而將每個人打出的分?jǐn)?shù)(最高分)進(jìn)行排序，前15000名可以獲得最多的獎勵. 第15000名的分?jǐn)?shù)被稱為一檔線. 那么如何建模才可以在一定程度上給出一檔線隨時間變化這一過程.

由于隨機(jī)過程如果考慮最最完善的情況的話，就會出現(xiàn)一個過程套另一個過程套另一個過程這樣套娃的情況，導(dǎo)致只能依賴數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值計算，與此文章的目的相悖.

故本文章考慮這樣一個理想的模型:

首先，要求不論什么時間(包括上班時間睡眠時間)，都有穩(wěn)定的玩家數(shù)量，一個人不打總力戰(zhàn)就得有另一個人去打總力戰(zhàn)，這樣就可以認(rèn)為打總力戰(zhàn)是一個泊松過程，而且保證了泊松過程的強(qiáng)度恒定. 其次假定各位玩家的實力相當(dāng)，且都打ins難度，這就意味著不同的人打完時，產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)獨立且同分布.?第三是每人只打一次，這個假定意味著玩家不能覆蓋自己的歷史最高分.

現(xiàn)在開始分析:?

首先，沒有足夠的證據(jù)證明成績近似服從正態(tài)分布，所以在分析中我們考慮最一般的情況，設(shè)各位參與者的成績服從分布的概率密度是??，而分布函數(shù)是 . 然后設(shè)分?jǐn)?shù)線為第??個人的成績.?

由模型的假設(shè)，得到的分?jǐn)?shù)的個數(shù)服從泊松分布??

當(dāng)? 時，有以下條件概率密度

這個就是引用了n-m+1次序統(tǒng)計量的概率密度函數(shù)

此時算出條件分布函數(shù)為

而當(dāng)? 時，由于沒有足夠的樣本，故可以認(rèn)為m次序統(tǒng)計量為任意比可能的最低分還要小的數(shù)，因此

而根據(jù)全概率公式

得到第??大的分?jǐn)?shù)的分布函數(shù)，并且求導(dǎo)還可以得到概率密度

這便是分?jǐn)?shù)線服從的分布函數(shù)，其中參數(shù)??代表最多只能有多少人過線，參數(shù)? 是泊松分布的強(qiáng)度，參數(shù)? 是經(jīng)過的時間. 雖然成績個數(shù)有幾率不足m個，使得P并非從0開始，但是隨著時間增長，分?jǐn)?shù)個數(shù)不足m的概率快速趨于0，對于較大的??幾乎無影響.

此公式用于預(yù)測的示例:

一個比賽，每個人只能參加一次，并得到一個分?jǐn)?shù)，每位選手得分服從期望和標(biāo)準(zhǔn)差都為10的正態(tài)分布，參加人數(shù)服從強(qiáng)度為10的泊松分布，只有前10名可以獲得獎品，預(yù)測時間為10時的分?jǐn)?shù)線.

對其的預(yù)測可以用上述概率密度函數(shù)代入數(shù)值求期望來得到，通過mathematica進(jìn)行數(shù)值積分得到期望約為23.02

而對其的檢驗試驗則可以通過生成偽隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行，方法如下:

(順帶一提，此種情況產(chǎn)生成績個數(shù)不足m的概率，數(shù)量級僅為10^(-32))

1. 調(diào)用mathematica生成一個服從Poi(100)的隨機(jī)數(shù)n

2. 調(diào)用mathematica生成n個服從的隨機(jī)數(shù)?

3. 對??進(jìn)行排序

4. 輸出第10大的數(shù)

5. 重復(fù)1-4步若干次，把輸出的數(shù)取平均值

這里進(jìn)行了12次試驗，得到的數(shù)據(jù)如上，試驗樣本平均值為22.41，相較于預(yù)測值23.02，相對誤差2.6%

預(yù)測分?jǐn)?shù)線關(guān)于參數(shù)? 的性質(zhì)

上面已經(jīng)介紹了對于各項參數(shù)都已經(jīng)確定時，預(yù)測分?jǐn)?shù)線的方法，但是我們有時也很關(guān)心分?jǐn)?shù)線隨時間的變化情況.

用上述概率密度計算期望，并表示為??的函數(shù)

接下來我們來計算其一個特殊的漸近展開，即當(dāng)成績服從正態(tài)分布時的漸近展開

簡單的變形得到

我們知道u趨于0時y趨于無窮，函數(shù)g的值主要由0附近的積分貢獻(xiàn)，所以考慮y在u=0附近的展開，由簡單的分部積分可以得到?

其中W是Lambert W 函數(shù)，因此?

代入積分得到?

這個積分的漸近展開我在此直接給出(或許未來的某天我會把證明發(fā)出來)

這便是在成績服從正態(tài)分布這一情況下，預(yù)測分?jǐn)?shù)線的函數(shù)在時間很大時的漸近展開.