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量子計(jì)算 [6] -- AQFT & 量子加法

2021-04-30 09:43 作者:nyasyamorina 0人讀過(guò) | 我要投稿

AQFT和加法之間并不存在直接關(guān)系,? 這里拿來(lái)一起說(shuō)純粹是占篇幅罷了? (抱頭蹲防

近似量子傅里葉變換

在實(shí)際操作的量子系統(tǒng)里,? 粒子會(huì)緩慢與外界粒子發(fā)生糾纏,? 比如通過(guò)約束粒子的場(chǎng)與產(chǎn)生場(chǎng)的儀器發(fā)生糾纏.? 通過(guò)糾纏,? 會(huì)使系統(tǒng)內(nèi)的粒子產(chǎn)生坍縮.? 這就是量子的退相干. [暫時(shí)對(duì)量子力學(xué)沒(méi)有很多了解, 可以參考*zh.wikipedia.org/wiki/量子退相干*]

在存在退相干的情況下,? 量子位系統(tǒng)經(jīng)過(guò)的位門(mén)越多,? 系統(tǒng)數(shù)據(jù)損失率越高.? 因此,? 需要一種位門(mén)較少,? 且計(jì)算精度不錯(cuò)的算法方案.

看到QFT的電路:?

里面存在一大堆相位旋轉(zhuǎn)門(mén) $R_t$ ,? 根據(jù)定義,? 隨著t變大,? $R_t$ 門(mén)會(huì)越來(lái)越接近 $I$ 門(mén).? 存在退相干時(shí),? 在t增大到某種程度時(shí),? $R_t$ 門(mén)產(chǎn)生的退相干效果會(huì)大于門(mén)自身對(duì)數(shù)據(jù)作出的貢獻(xiàn).

對(duì)此,? 提出了解決方法:? 給出一個(gè)整數(shù)m,? 把 t > m 的相位旋轉(zhuǎn)門(mén)全部拋棄.? 如果 t = m 的相位旋轉(zhuǎn)門(mén)剛好是退相干效果會(huì)小于門(mén)對(duì)數(shù)據(jù)作出的貢獻(xiàn)的最后一個(gè)位門(mén),? 那么這個(gè)方法可以以最少誤差給出QFT的結(jié)果,? 這個(gè)方法就叫做AQFT.

下面給出AQFT原論文里的誤差分析,? 其中Q為質(zhì)量因子(quality factor),? 值越大表示數(shù)據(jù)失真越少,? δ是量子系統(tǒng)與環(huán)境的耦合強(qiáng)度,? L是量子位數(shù)量

需要注意到,? 當(dāng) m 與量子位長(zhǎng)度一樣時(shí),? AQFT變?yōu)镼FT;? 而 m = 0時(shí),? AQFT變?yōu)镠變換.

在實(shí)際使用中,? AQFT比QFT有更好的表現(xiàn),? 當(dāng)在模擬計(jì)算里,? 因?yàn)椴淮嬖谕讼喔?? 自然是QFT更好.? 但在量子位數(shù)量比較多的時(shí)候,? 模擬計(jì)算QFT會(huì)有很大壓力 [內(nèi)存使用劇增導(dǎo)致計(jì)算速度緩慢],? 這時(shí)候AQFT可以提供一種稍微快一點(diǎn)的計(jì)算方案.

量子加法

實(shí)現(xiàn)加法是所有可以進(jìn)行計(jì)算的機(jī)器的重點(diǎn).? 在電子計(jì)算機(jī)里,? 加法是通過(guò)半加器組合為全加器,? 再由全加器組合為加法器.? 而在可逆邏輯計(jì)算里討論過(guò)可逆加法器是由可逆全加器組合構(gòu)成加法器,? 并且失去了半加器這個(gè)概念.? 在目前最好的量子加法里,? 甚至連全加器的概念也不存在,? 下面來(lái)討論一下.

考慮兩個(gè)數(shù)字 A和B,? A和B都是n個(gè)比特的數(shù)字,? 也就是 $A%2CB%5Cin%5B0%2C2%5En)%5Ccap%5Cmathbb%7BZ%7D$ ,? 定義計(jì)算? $C%3D(A%2BB)%5C%3Bmod%5C%3B2%5En$ ?為加法.? C同樣為n比特的數(shù)字.? 不難知道在給出 C和A 可以推導(dǎo)出B: $B%3D(C-A)%5C%3Bmod%5C%3B2%5En$ .? 這表明如果有操作 $%7CA%5Crangle%7CB%5Crangle%5Crightarrow%7CA%5Crangle%7C(A%2BB)%5C%3Bmod%5C%3B2%5En%5Crangle$ ,? 則必定存在它的逆向操作: $%7CA%5Crangle%7CC%5Crangle%5Crightarrow%7CA%5Crangle%7C(C-A)%5C%3Bmod%5C%3B2%5En%5Crangle$ ,? 并且不難證明這種映射與逆映射的互相對(duì)應(yīng)的.? 也就說(shuō)可能存在一種不需要額外比特的可逆加法.? 這里只是提供一種思路,? 集合α映射到集合β上,? 當(dāng)α與β的大小一致,? 且α里的每個(gè)元素都映射到β里不同的元素上,? 則必定存在從β到α的相應(yīng)的逆映射.? [好像是叫滿映射? 集合學(xué)得老差了]

在量子計(jì)算里,? 相位可以很方便地通過(guò)相位旋轉(zhuǎn)門(mén)來(lái)操作,? 而QFT又可以很方便地把數(shù)字變?yōu)橄辔?? 由相位的周期性 $e(x%2B1)%3De(x)$ 可以類(lèi)比于n比特的溢出 $(x%2B2%5En)%5C%3Bmod%5C%3B2%5En%3Dx%5C%3Bmod%5C%3B2%5En$ ;? 作用相位旋轉(zhuǎn)門(mén)等同于相位相加? $e(x)e(y)%3De(x%2By)$ ,? 綜上所述,? 沒(méi)有什么比相位更適合進(jìn)行加法操作的了.

記 $%7C%5Cphi_l(x)%5Crangle%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D(%7C0%5Crangle%2Be%5E%7B2%5Cpi%20i(2%5E%7B-l%7Dx)%7D%7C1%5Crangle)$ ,? QFT表示為

類(lèi)比于QFT里的相位旋轉(zhuǎn)門(mén)的原理,? 加法器電路為

這是一個(gè)非常簡(jiǎn)潔的電路.??可以注意到,? 同一類(lèi)相位旋轉(zhuǎn)門(mén)作用在上面的量子位都是不一樣的,? 比如 $R_2$ ,? 總是被 $%7CA_l%5Crangle$ 控制,? 作用在 $%7C%5Cphi_%7Bl%2B1%7D(B)%5Crangle$ 上.? 根據(jù)這個(gè)特征,? 在實(shí)際構(gòu)造運(yùn)行時(shí)可以所有同一類(lèi)門(mén)同時(shí)運(yùn)行得到并行計(jì)算.

加法電路已經(jīng)整合到自制垃圾庫(kù)里面了,? 下面代碼將會(huì)直接調(diào)用庫(kù)里的方法而不是再寫(xiě)一次.

半經(jīng)典加法

如果在加法里A是經(jīng)典的電子信號(hào),? 那么使態(tài) $%7C%5Cphi_l(B)%5Crangle$ 變?yōu)閼B(tài) $%7C%5Cphi_l(A%2BB)%5Crangle$ 的相位旋轉(zhuǎn)門(mén)是可以通過(guò)電子計(jì)算機(jī)確定的.? 詳細(xì)實(shí)現(xiàn)這里也不細(xì)說(shuō)了,? 有興趣的可以試著自己實(shí)現(xiàn)一下,? 實(shí)在不知道怎么實(shí)現(xiàn)的,? 可以參考自制垃圾庫(kù)里的 `.HighLevel.Add.PhaseAddInt()`