在上一節(jié)中，我們把√(-1)當成一種新的數(shù)字看待。并且根據(jù)已有的運算規(guī)則，我們邁出了第一步，簡化了卡丹（Cardan）的問題。但我們還需要龐貝利（Rafael Bombelli）的另一個卓見來解決問題。

龐貝利觀察過三次函數(shù)的圖像，不難發(fā)現(xiàn)它與x軸至少有一個交點，即這個方程必有一個實數(shù)解。因此，他的第二個洞見是把上式的兩部分分別改寫成：

這才能把√(-1)的部分抵消掉。于是，問題便有跡可循。通過對上面任意一個等式兩邊同時立方，我們得到了兩個關(guān)于a、b的等式：

從上式要解出a、b有些難度。但龐貝利有更巧妙的方法：如果我們回到初始的三次方程x3=15x+4，然后試幾個整數(shù)（這種方法稱為試錯法），我們不難知道“4”就是答案。我們便很容易地求出a=2，b=1（舍去負解）。我們可以驗證一下，當我們把2+1√(-1)和2-1√(-1)加起來時，我們得到了“4”——剛剛蒙對的答案。

有意思的是，我們的問題和答案都沒有出現(xiàn)√(-1)的身影，然而在解題過程中，√(-1)成了我們破解的關(guān)鍵，事實上，只要我們擴充數(shù)字體系，我們便能解決許多看似無解的問題。

法國著名數(shù)學家雅克·哈達瑪(Jacques Hadamard,1865-1963)曾說：

The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.

（要理解實數(shù)域中的數(shù)學物理方程，就必須放到復數(shù)域中理解。）

遺憾的是，龐貝利在發(fā)現(xiàn)了如此有用的√(-1)之后，他僅僅公布了其發(fā)現(xiàn)，并評價這只是個便于計算的工具（hack）。 他說到：

The whole matter seemed to rest on sophistry rather than truth.

（整個過程更像是一種假象而不是一種真實）

如今我們知道，虛數(shù)的應用遠不止于此。只是這一切顯得太自然了，以至于在他看來，顯得很不真實。很多學生在學習復數(shù)也會有這樣的體會，如果你有這種感受，你就對了！

開方運算，與計算正方形的邊長密切相關(guān)。對正方形的面積開方便給出它的邊長。但是√(-1)，即“負面積”有沒有它的邊長？這樣的問題拖慢了虛數(shù)的發(fā)展歷程。然而虛數(shù)的隱晦，在于它蘊含著超越大多數(shù)人經(jīng)驗的深刻內(nèi)涵。這一切，要等龐貝利去世很久之后才被真正發(fā)掘。

拓展閱讀

如果你想要檢驗自己確實聽懂了剛才的內(nèi)容，就讓我們完整的回顧一遍龐貝利的解答過程。

首先，它假設有

但正如前文所言，龐貝利知道三次方程的解必有一個實根。

因此它假設：

以消去√(-1)。用今天的話說，這是一對共軛復數(shù)。

分別對這兩個等式的任意一個兩邊同時立方，他發(fā)現(xiàn)都能得到圖三的結(jié)果。

然后，我們根據(jù)已知解x=4，得到a=2，b2=1，舍去負解得a=2，b=-1，于是

于是我們解決了卡丹問題：

如果你覺得整個過程更像是一種技巧，不止你一個人有這種感覺。在筆者眼里，√(-1)如同電影《Who Framed Roger Rabbit》中的動畫角色——兔子羅杰（Roger Rabbit）一樣，我們不曾想過有一天他能走出熒幕，跟真人互動。男主埃迪·瓦林特（Eddie?Valiant）在演戲時能看到周圍的一切卻看不到兔子，正如當時數(shù)學家只知道實數(shù)而不知道√(-1)一樣。但男主和兔子，都是一部電影中有生命的角色，正如實數(shù)和虛數(shù)：

不變的是數(shù)字，我們已是觀眾。